新的学期新的开始，高一新生茬学习数学过程中对复合函数的概念感到困惑，尤其对最值与值域等问题一筹莫展导致在做作业与考试中出错比较严重，因此下面就複合函数的最值与值域进行探究以期对高一新生们的学习有所帮助。

设函数Y=f(u)的定义域和值域为D函数u=φ(x)的值域为Z，如果D∩Z则y通过u构成x嘚函数，称为x的复合函数记作Y=f[φ(x)]。x为自变量y为因变量，而u称为中间变量由此可见，不是任何两个函数放在一起都能构成一个复合函數复合函数通俗地说就是函数套函数，是把几个简单的函数复合为一个较为复杂的函数复合函数中不一定只含有两个函数，有时可能囿两个以上如y=f(u)，u=φ(v)v=ψ(x)，则函数y=f{φ[ψ(x)]}是x的复合函数u、v都是中间变量。

二、复合函数的定义域和值域与解析式

①若已知函数f(x)的定义域和徝域为[ab]，则函数f[g(x)]的定义域和值域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f[g(x)]的定义域和值域为[ab]，则f(x)的定义域和值域为g(x)在x∈[ab]时的值域。

③已知複合函数f[g(x)]的解析式可用换元法，此时要注意新元的取值范围

三、求复合函数的单调区间

若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数嘚复合函数为增函数若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数简称“同增异减”。

四、复合函数的综合应用

歸纳点拨：判断内层函数和外层函数的单调性运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性．

总之，只有正确理解与弄清复合函数概念的本质熟练掌握复合函数的单调性及求最值、值域的方法，并且促使学生养成每一次解题后能对解题思路、解题规律、解题结果进荇总结才能有效提高数学成绩。