运筹学--第二章 线性规划的对偶问题-博泰典藏网
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运筹学--第二章 线性规划的对偶问题
导读：第二章线性规划的对偶问题，习题二2.1写出下列线性规划问题的对偶问题，2.2已知线性规划问题maxz＝CX，其对偶问题的解的变化：，（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0），2.3已知线性规划问题minz＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4，(1)写出其对偶问题，(2)已知原问题最优解为x*＝（1，直接求出对偶问题的最优解，2.4已知线性规划问题minz＝2x1＋x2＋5x3＋6x4对偶变量第二章 线性规划的对偶问题 习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3
(2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4 st.
x1＋ x2＋2 x3≤10
x1＋ x2＋ x3 ＋ x4 ≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20
2x1－ x2＋3x3
＝－4 xj ≥0
（j＝1,2,3）
－ x3＋ x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4
(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st.
x1－2x2＋3x3＋4x4≤3
－x1＋5x2－3x3 ≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5
－5x1－6x2＋10x3 ≤20
2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝
x1－ x2－ x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3 无约束
x1≤0， x2≥0，x3 无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3x'1代换。 2.3 已知线性规划问题 min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st.
＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6 x3 ＋ x4＝2
(1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题 min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4
对偶变量 st. 2x1
＋x3＋ x4≤8
y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12
xj≥0（j＝1,2,3,4） 对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题
max z＝2x1＋4x2＋3x3
3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 xj≥0 （j＝1,2,3）
４７ xj≥0（j＝1,2,3,4） 第二章 线性规划的对偶问题 （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。 2.6 已知线性规划问题
max z＝10x1＋5x2 st.
3x1＋4x2≤9 5x1＋2x2≤8 xj≥0（j＝1,2） 用单纯形法求得最终表如下表所示：
x2 x1 x1 0 1 0 x2 1 0 0 x3
32―314 ――27
?j=cj-Zj ―2514试用灵敏度分析的方法分别判断： （1）目标函数系数c1或c2分别在什么范围内变动，上述最优解不变； （2）约束条件右端项b1，b2，当一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变； （3）问题的目标函数变为max z ＝12x1＋4x2时上述最优解的变化； （4）约束条件右端项由?变为?时上述最优解的变化。 ???????8??19??9??11?2.7 线性规划问题如下： max z＝―5x1＋5x2＋13x3
―x1＋x2＋3x3≤20
① 12x1＋4x2＋10x3≤90
② xj≥0 （j＝1,2,3） 先用单纯形法求解，然后分析下列各种条件下，最优解分别有什么变化？ （1） 约束条件①的右端常数由20变为30； （2） 约束条件②的右端常数由90变为70； （3） 目标函数中x3的系数由13变为8； （4） x1的系数列向量由（―1，12）T变为（0，5）T； （5） 增加一个约束条件③：2x1＋3x2＋5x3≤50； （6） 将原约束条件②改变为：10x1＋5x2＋10x3≤100。 ４８ 第二章 线性规划的对偶问题 2.8 用单纯形法求解某线性规划问题得到最终单纯形表如下： cj a b 基变量 c d ?j=cj-Zj 50 x1 0 1 0 40 x2 1 0 0 10 x3
1 2 f S 6 4 g
e （1）给出a，b，c，d，e，f，g的值或表达式； （2）指出原问题是求目标函数的最大值还是最小值； （3）用a+?a，b+?b分别代替a和b，仍然保持上表是最优单纯形表，求?a，?b满足的范围。 2.9 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品。该厂现有工人100人，每月白坯纸供应量为30000千克。已知工人的劳动生产率为：每人每月可生产原稿纸30捆，或日记本30打，或练习本30箱。已知原材料消耗为：每捆原稿纸用白坯纸坯纸千克，每打日记本用白坯纸千克，每箱练习本用白千克。又知每生产一捆原稿纸可获利2元，生产一打日记本获利3元，生产一箱练习本获利1元。试确定： （1）现有生产条件下获利最大的方案； （2）如白坯纸的供应数量不变，当工人数不足时可招收临时工，临时工工资支出为每人每月40元，则该厂要不要招收临时工？如要的话，招多少临时工最合适？ 2.10 某厂生产甲、乙两种产品，需要A、B两种原料，生产消耗等参数如下表（表中的消耗系数为千克/件）。 产品原料 A B 甲 2 3 乙 4 2 可用量（千克） 原料成本（元/千克） 160 180 1.0 2.0
销售价（元） 13 16
（1）请构造数学模型使该厂利润最大，并求解。 （2）原料A、B的影子价格各为多少。 （3）现有新产品丙，每件消耗3千克原料A和4千克原料B，问该产品的销售价格至少为多少时才值得投产。 （4）工厂可在市场上买到原料A。工厂是否应该购买该原料以扩大生产？在保持原问题最优基的不变的情况下，最多应购入多少？可增加多少利润？
４９ 第二章 线性规划的对偶问题 2.11 某厂生产A、B两种产品需要同种原料，所需原料、工时和利润等参数如下表： 单位产品 原料（千克） 工时（小时） 利润（万元） A 1 2 B 2 1 可用量（千克） 200 300
4 3 （1） 请构造一数学模型使该厂总利润最大，并求解。 （2） 如果原料和工时的限制分别为300公斤和900小时，又如何安排生产？ （3） 如果生产中除原料和工时外，尚考虑水的用量，设两A，B产品的单位产品分别需要水4吨和2吨，水的总用量限制在400吨以内，又应如何安排生产？ ５０ 包含总结汇报、行业论文、教学研究、人文社科、表格模板、自然科学、高中教育、高等教育、农林牧渔、求职职场以及运筹学--第二章 线性规划的对偶问题等内容。
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线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用课题.doc 21页
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线性规划原问题与对偶问题的转化及其应用
线性规划对偶问题是运筹学中应用较广泛的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.线性规划对偶问题能从不同角度为管理者提供更多的科学理论依据，使管理者的决定更加合理准确.本文主要探讨了线性规划原问题与对偶问题之间的关系、线性规划原问题与对偶问题的转化以及对偶理论的应用.本文的研究主要是将复杂的线性规划原问题转化成对偶问题进行解决，简化了线性规划问题，使人们能够快速的找出线性规划问题的最优解.
关键词：线性规划；原问题；对偶问题 ；转化
Linear Programming is the Original Problem and the Transformation of the Dual Problem and Applications
Abstract: Linear programming in operational research is research earlier, rapid development and wide application, the method is an important branch of mature, it is one of the scientific management of auxiliary people mathematical method. Can from different angles to linear programming dual problem for policy makers to provide more scientific theory basis. This article mainly probes into the linear programming problem and the relationship between the dual problem, linear programming problem and the transformation of the dual problem, the application of linear programming dual problem. This article is the complex of the original problem into its dual problem to be solved, simplifies the linear programming problem, enables us to rapidly find the optimal solution of linear programming problem.
conversion
 TOC \o &1-3& \h \z \u HYPERLINK \l &_Toc&1
引言  PAGEREF _Toc \h 1
HYPERLINK \l &_Toc&2
文献综述  PAGEREF _Toc \h 1
HYPERLINK \l &_Toc&2.1 国内外研究现状  PAGEREF _Toc \h 1
HYPERLINK \l &_Toc&2.2 国内外研究现状评价  PAGEREF _Toc \h 2
HYPERLINK \l &_Toc&2.3 提出问题  PAGEREF _Toc \h 2
HYPERLINK \l &_Toc&3
预备知识  PAGEREF _Toc \h 2
HYPERLINK \l &_Toc&3.1对称形式的原问题  PAGEREF _Toc \h 2
HYPERLINK \l &_Toc&3.2 非对称形式的原问题  PAGEREF _Toc \h 3
HYPERLINK \l &_Toc&3.3 对偶问题的定义  PAGEREF _Toc
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运筹学 怎么样从单纯形表的看出原问题和对偶问题解得形式
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