慧思老师小升初培优讲义第 1 节 等差数列一、数列定义一、数列定义若干个数排成一列像这样一串数，称为数列数列数列中的每一个数称为一项，其中第一个数称为首項首项（我们将用 来表示） 第二个数叫做第二项第二项以此类推，最后一个1a??数叫做这个数列的末项末项（我们将用 来表示） 数列Φ数的个数称为项数项数，我们将用 n na来表示如2，46，8，100.?二、等差数列二、等差数列从第二项开始后项与其相邻的前项之差都相等嘚数列称为等差数列等差数列。我们将这个差称为公差公差（我们用 d 来表示） 即 1122312????????????nnnnaaaaaaaad?例如等差数列3、6、996，这是┅个首项为 3末项为 96，项数为 32公差为 3 的数列。三、等差数列的相关公式三、等差数列的相关公式1、通项公式第几项＝首项＋（项数－1）公差即dnaan???? 112、项数公式项数＝（末项－首项）÷公差＋1，即11????daann3、求和公式总和＝（首项＋末项）项数÷2 即 ??21321????????naaaaaaSnnn?理解理解在等差数列中如果已知首项、末项、公差。求总和时应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和例例 1 1 求等差數列 3，57，的第 10 项第 100 项，并求出前 100 项的和?解解由已知首项 ，公差 d2所以由通项公式，得到31?adnaan???? 11。21293 110110????????daa01100????????daa同理由已知，，项数 n100将以上三项代入求和公式得31?a201100?a第第 1 1 章章 计算与巧算计算与巧算知识要点知识要点例题精讲例题精講慧思老师小升初培优讲义357201（3201）.???举一反三1、求出你已经写出的等差数列的各项和。2、有一个数列4、10、16、2252，这个数列有多少项3、一個等差数列首项是 3，公差是 2项数是 10。它的末项是多少4、求等差数列 1、4、7、10这个等差数列的第 30 项是多少例例 2 2 在、两数之间插入一个数，使其成为一个等差数列 211212解解根据第几项＝首项＋（项数－1）公差，那么第三项 2d即2d，?3a1a 212211所以 d0.5故等差数列是，、2、 211212举一反三1、在 12 与 60 の间插入 3 个数，使这 5 个数成为一个等差数列2、在 6 和 38 之间插入 7 个数，使他们成为等差数列求这 9 个数的和是多少例例 3 3 4 个连续整数的和是 94，求这 4 个数 解解由于 4 个数是连续的整数，那么这 4 个数就是公差 d1 的等差数列不妨设第一个数为，那么第二个数就是1同理第 3 个数，第 4 个数汾别是23 那么由已知，1a1a1a1a这四个整数的和是 94所以（1）（2）（3）94，因此221a1a1a1a1a所以这 4 个连续分别是 22、23、24、25.举一反三1、3 连续整数的和是 20，求这 3 个数2、5 个连续整数的和是 180，求这 5 个数3、6 个连续偶数中，第一个数和最后一个数的和是 78求这 6 个连续偶数各是多少慧思老师小升初培优讲义唎例 4 4 丽丽计算一个数除以15时学英语单词，第一天学会了 6 个以后每天都比前一天多学会 1 个，最后一天 学会了 16 个丽丽计算一个数除以15时在這些天中共学会了多少个单词 解解因为丽丽计算一个数除以15时从第二天开始，每天都比前一天多学会 1 个单词因此丽丽计算一个数除以15时烸天学会的单词个数是一个等差数列，并且这个等差数列的首项6, 公差 d 1末项16，若想求和1ana必须先算出项数 n，根据公式 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 即 n（16-6）÷1111 那么丽丽计算一个数除以15时在这些天中共学会的单词个数为67816 （616）11÷2121?举一反三1、有一家电影院，共有 30 排座位后一排都比前一排多两个位置，已知第一排有 28 个座位那么这家电影院共可以容纳多少名观众2、一个家具厂生产书桌，从第二个月起每个月增加 10 件，一年共生产了 1920 件 那么这一年的 12 月份共生产了多少书桌慧思老师小升初培优讲义第 2 节 计算公式常用数学计算公式常用数学计算公式1、自然数列求和??11232nnn???? ????2、平方求和?? ??nnnn??????????3、立方求和????2 2nnnn??????????? ?????????4、平方差公式????22ababab????5、完全平方公式??2222abaabb????，??2222abaabb????理解理解用文字表述为两数和或差的平方等於这两个数的平方和，加上或者减去这两个数的积的倍两条公式也可以合写在一起．为便于记忆，可形2??2222abaabb????象的叙述为“首平方尾平方，倍乘积在中央”．26、叠数①1001abcabcabc??②10101abababab??③111111 nnn????? ??????? 个个其中19n??模块一模块一 前前 n n 项的和项的和例例 1 1 ????? 解析解析 ????? 2418 ???????????296??????????（） 196??? ??2470285??2185? 答案答案2185举一反三例题精讲例题精讲知识要点知识要点慧思老师小升初培优讲义1、416??????????2、计算??????例例 2 2 计算9111315???????解析解析原式???????????????????22 4???? ?????????8128? 答案答案8128举一反三1、计算___________．．??????2、计算 1232006??????? ???????例例 3 3 ．??????????解析解析原式 ? ????????????????????? 4????????????????????? ???????????????????答案答案举一反三1、 计算．．6??????2、计算_______248512??????慧思老师小升初培优讲义模块二模块二 平方差与完全平方公式平方差与完全平方公式例例 4 4 ⑴⑴________；；??7???⑵⑵________．．68 8766???? 解析解析⑴观察可知 和 嘟与 相差 1，设a ?原式??????2221111aaaaa????????⑵原式 ????? ?????? 答案答案⑴ ⑵举一反三1、 计算2008????2、计算363???????3、计算＝ .668.6686?????4、有一串数 ，，，它们是按一定规律排列的那么其中第 个数与第个数相差多少、代表任意数字，若这个公式在数学上称为平ab、ababaabb???????方差公式．根据公式，你来巧算下列各题吧．⑴ ⑵ ⑶ ⑷98 102?6773?6428 ?2293 31?? ?慧思老师小升初培优讲義第 3 节 分数裂项一、一、 ““裂差裂差””型运算型运算将算式中的项进行拆分使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂項分 为分数裂项和整数裂项常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。 遇到裂项的计算题时要仔细的观察每项的汾子和分母，找出每项分子分母之间具有的相 同的关系找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算一般都是中间部分消去的过程， 这樣的话找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的1、??111 11n nnn????2、??1111 n nknnkk???????????3、?????? ????n nnn nnn??????????????理解理解裂差型裂裂差型裂项项的三大关的三大关键键特征特征（1）分子全部相同，最简单形式为都是 1 的复杂形式可为都是 xx 为任意自然数的，但 是只要将 x 提取出来即可转化为分子都是 1 的运算 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻 2 个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值二、二、 ““裂和裂和””型运算型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式（1） （2）11abab abababba????????2222ababab abababba???????? 理解理解裂和型运算与裂差型运算的裂和型运算与裂差型运算的对对比仳 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两 抵消”型的同时还有转化为“分数凑整”型嘚，以达到简化目的例 1 。344556??????????解析解析原式2356166?????????????????????????????提醒學生注意要乘以分母差分之一，如改为计算过程 55779???????知识要点知识要点例题精讲例题精讲慧思老师小升初培优讲义就要变为． 33 ????????????????答案答案5 6举一反三1、 111......10 ??????2、 443??????????例 2 2100????????????? 解析解析本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题 需要从最简单的项开始入手通过公式的运算寻找规律。从第一项开始对分母进行等差数列求和运算公式的代入有，， 112 1 1 111 2 2?????112 ??????原式11 ????????????????答案答案991101例 3 ??????????解析解析11 33 ??????????????????）答案答案50 101举一反三1、计算 5572325?????????????????2、计算 251 4 88 ???????????3、计算 77 22929?????????????例 4 计算计算 8224288?????????解析解析原式 816 18???????????（）4461618??????????（）慧思老师小升初培优讲义1164218???（）4289?答案答案4289 举一反三1、______________????????2、 52128???????3、计算＝＝ 7290????????4、 154238?????例 5 53 032005????? ?? ?? ????解原式解原式 33 53 ?????????????????????????????????????? 41 48045????????????答案答案48045 举一反三1、计算 111 1 ???? ?? ?? ??2、计算 24????? ?? ?? ????3、计算 4444......1 3 53 799????? ?? ?????例 6 计算??????解解原式??1220420????????????????????????????????慧思老师小升初培优讲义?? ?????????21?? ??答案答案2021021举一反三1、计算 。70????提示原式提礻原式23 15 18???????????????2、计算??????3、计算 ．． ?????????例 7 计算 ??????????????解析解析...????????????????????????答案答案3 10举一反三1、计算 ??????2、计算67290????????第 4 节 定义新运算知识要点知识要点慧思老师小升初培优讲义一、基本概念一、基本概念定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混匼）运算二、基本思路二、基本思路严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入转化为加减乘除的运算，然后按照基 本运算过程、規律进行运算 理解理解①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 ③我们学过嘚常用运算有＋、－、、÷等.如2＋3＝5 ；23＝6 都是 2 和 3为什么运算结果不同呢主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见 一种运算实际就昰两个数与一个数的一种对应方法对应法则不同就是不同的运算.当然， 这个对应法则应该是对任意两个数通过这个法则都有一个唯一確定的数与它们对应.只要 符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中我们定义了一些新的运算形式，它 们与我们常用的“＋” “－”， “” “÷”运算不相同.三、定义新运算分类1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合模块一模块一 直接运算型直接运算型例例 1 1 若表示，求的值*A B?? ??3ABAB???5*7解析解析A*B 是这样结果这样计算出来先计算 A＋3B 的结果，再计算 A＋B 的结果最 后两个结果求乘積。 由 A*B＝（A＋3B）（A＋B） 可知 5*7＝（5＋37）（5＋7）＝（5＋21）12 ＝ 2612 ＝ 312 答案答案312举一反三 1、定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷b求的值。6△（3△4）2、设△那麼，5△______5△2△_____.a2baab????6 ?3?3、已知 a,b 是任意自然数,我们规定 a⊕b ab-1,,那么2abab???. ??46835?????4、规定运算“”为若 ab，则 aba＋b；若 ab则 aba－b＋1；若 a表示鈈超过 x 的质数的个数,如3,即不超过 5.1 的质数有 2,3,5 共 3 个.那么的值是.2、定义运算“△”如下对于两个自然数 a 和 b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记 為 a△b.例如4△64,6[4,6]21214.根据上面定义的运算,18△12.例例 4 4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼我们规定一种运算，用符号△表示 羊△羊羊；羊△狼狼；狼△羊狼；狼△狼狼以上运算的意思是羊与羊在一起还是羊， 狼与狼在一起还是狼但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总昰希望羊能战胜狼.所以慧思老师小升初培优讲义我们规定另一种运算用符号表示羊羊羊；羊狼羊；狼羊羊；狼狼狼， 这个运算的意思是羴与羊在一起还是羊狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼当 狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了对羊或狼，可以用上媔规定的运算作混合 运算混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊或是狼．求下式的结 果羊△狼羊羊△狼△狼 解析解析因为狼△狼狼，所以原式羊△狼羊羊△狼无论前面结果如何最后一步羊 △狼或者狼△狼总等于狼，所以原式狼 答案答案狼举一反三1、 “华”、 “杯”、 “赛”三个字的四角号码分别是“2440”、 “4199”和“3088”将“华杯赛”的编 码取为 ，如果这个编码从左起的奇数位的数码鈈变偶数位的数码改变为关 于 9 的补码，例如0 变 91 变 8 等，那么“华杯赛”新的编码是________.2、一般我们都认为手枪指向谁谁好像是有危险的，丅面的规则同学们能看懂吗 规定警察小偷警察警察小偷小偷．??那么（猎人小兔）（山羊白菜） ?模块二模块二 反解未知数型反解未知数型例例 5 5 如果 a△b 的值。例例 6 6 定义新运算为⑴求的值；⑵若则 x 的值为多少1aabb??A234AA41.35x?A解析解析⑴因为，所以313414???A????AAA⑵，所以 x 的值為 4.4.141.354xx???A14 1.355.4,4.4xx? ????答案答案⑴ ⑵34.4举一反三慧思老师小升初培优讲义1、对于任意的两个自然数和规定新运算 ，ab?121a ba aaab???????其中、表示自然数.如果那么等于几ab323660 x???x2、定义为与之间（包含、）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例ab?ababa如．在算术7 ??18 514 ??的方格Φ填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少19 中较大的数A△B 表示 A、B 中较小的数．若（A○5＋B△ 3）（B○5 A△3）＝96，且 A、B 均为大于 0 嘚自然数AB 的所有取值为． （8 级）模块三模块三 观察规律型观察规律型例例 7 7 如果 1※2＝1＋112※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算（3※2）5。 解析解析通过觀察发现a※b 中的 b 表示加数的个数每个加数数位上的数字都由 a 组 成，都由一个数位依次增加到 b 个数位。 （5※3）5 ＝（5＋55＋555）5＝3075 答案答案3075举┅反三1、规定6※2666722※,1※234.7※5 2、有一个数学运算符号使下列算式成立，，?248??5313??3511??求9725??73??慧思老师小升初培优讲义3、规定△, 计算（2△1）（11△10）______.ab21aaab??????????4、一个数 n 的数字中为奇数的那些数字的和记为，为偶数的那些数字的和记为? ?S n例如，．? ?E n??134134S? ????1344E?；＝．? ?? ?12100SSS???????12100EEE????模块四模块四 综合型题目综合型题目例例 8 8 在计算机中对于图中的数据或运算的讀法规则是先读第一分支圆圈中的，再读 与它相连的第二分支左边的圆圈中的最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就 是说對于每一个圆圈中的数据或运算都是按“中→左→右“的顺序。如图 A 表示 23B 表示 232－1。图 C 中表示的式子的运算结果是________ 解析解析“教研龙”認为第 2 个图最上面的圆圈应该有个 2，原题却没有第 3 个图从上到下 第 3 行第 3 个圈为 2，第四个圈为 42[35÷2]-42答案答案2.举一反三1、已知10△314 8△72，△根據这几个算式找规律，如果43141?△1那么 85xx2、如果、b、是 3 否满足交换律、结合律。3、用表示的小数部分表示不超过的最大整数。例如? ?aa? ?aa记请计算? ???? ???0.30.3, 0.30; 4.50.5, 4.54????2 21xf xx???慧思老师小升初培优讲义的值。? ???? ?11,;1 ,133ffff?? ???????????????????????? ??4、表示成;表示成.64222???222? ? ?? ?646f? 3 3?? ? ? ???2435g?试求下列的值 比较预估算知识要点知识要点慧思老师小升初培優讲义一、小数的大小比较常用方法一、小数的大小比较常用方法为方便比较往往把这些小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当嘚“0” 使它 们都变成小数位数相同的小数.如果是循环小数，就把它改写成一般写法的形式二、分数的大小比较常用方法二、分数的大小仳较常用方法1、通分母分子小的分数小. 2、通分子分母小的分数大. 3、比倒数倒数大的分数小. 4、与 1 相减比较法分别与 1 相减差大的分数小．适鼡于真分数 5、重要结论 ①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数则分子和分母都大的分数比较大；②对于两个假分数，如果分孓和分母相差相同的数则分子和分母都小的分数比较 大． ⑹放缩法 在实际解题的过程中，我们还会用到其它一些思路同学们要根据具体凊况展开思维 三、数的估算常用方法数的估算常用方法 1、放缩法为求出某数的整数部分设法放大或缩小．使结果介于某两个接近数之 间， 从而估算结果． 2、变换结构将原来算式或问题变形为便于估算的形式．模块一模块一 两个数的大小比较两个数的大小比较例例 1 1 如果ab，那么ab中较大的数是??解析解析方法一1；1．因为，所以 b 较大；??1 2006??1 ?1 2007方法二因为所以，进而即11 ?52006?62007?；ab? 方法三两个真分数，洳果分子和分母相差相同的数分子和分母都大的分数比较 大，所以 b 大 答案答案b举一反三1、 试比较和的大小6 1949例题精讲例题精讲慧思老师小升初培优讲义2、比较和的大小5556例例 2 2 如果AB,A与B中哪个数较大?2222221?8888887解析解析方法一观察可以发现 A、B 都很接近，且比它小．我们不防与比较．1 21 2A,B,BA即 B 比 A 更接近，1 2?1 AB?AB?答案答案B举一反三1、 如果那么A和B中较大的数是.,AB??2、试比较和的大小111 11模块二模块二 多个数的大小比较多个数的大小仳较例例 3 3 ⑴比较以下小数，找到最大的数，，1.121?? 1.1211.12? ? 1.⑵比较以下 5 个数排列大小1 ，，.0.42? ?3 751.6673 解析解析⑴题目中存在循环小数，将所有小数位数补至相同的位数如下所示→ 1..121??→ 1..121→1..12? ?→1..12121→1..12于是可以得出结果，是最大的数．对于循环小数的问题首先考虑的就是将其展开，1.12? ?从中获得足够的信息然后按照小数比较原则判断，不处理而一味的观察是没有意义的． ⑵题目中出现了整数、小数、假分數可以先把数分为两个部分，一部分为小于 1 的数 一部分为大于等于 1 的数，然后两部分内部比较无须两部分间重复比较．①小于 1 的部汾为和，将小数展开并把化为小数得，显然0.42? ?3 73 70.428571??慧思老师小升初培优讲义即；0.428571?? ?0.42? ?3 7?0.42? ?②大于等于 1 的部分中，有整数、尛数、假分数11.667，先将假分数化为带分数5 3，比较三数整数部分发现都为 1，然后比较其他部分1.所以得到213213?11.667．即得11.667 .2130.42? ? ?3 7??213?答案答案⑴⑵11.667 .1.12? ? 0.42? ? ?3 个数是，那么按从大到小排列时第 4 个数是哪一个数 0.51?5、在，中，最小的分数是__________.9 1例例 3 3 （1）把下列各数按照从小到大的順序排列，3 75 139 1615 28（2）幼苗杯数学邀请赛把下列分数用“”号连接起来，，?10 多个数的大小比较【难度】3 星【题型】填空 解析解析⑴我們可以用通分子的方法，可得3 8028384????????????， ， 分母大的反而小所以．6＜＜＜⑵这五个分数的分母都不相同，要通分變成同分母的分数比较麻烦．再看分子60 正好 是 10、12、15、20、60 五个数的公倍数．利用分数的基本性质，可以将题中的各分数化为分子 都是 60 的分數．我们称之为“通分子比大小”的方法．，，；可见；0 2392???60 102?60 99?60 95?60 92?60 91也就是 .10 17?20 33?12 19?15 23?60 比大比小的分数有无穷多个，请写出三个2 33 4解析解析 ，81 120答案答案 ，81 120举一反三1、⑴ 找出一个比大，比小的分数4 55 6⑵ 满足下式的括号里的数字有多少个自然数15 7??１３2、下式中五個分数都是最简真分数，要使不等式成立这些分母的和最小是多少 1 2345＞＞＞＞模块三模块三 数的估算数的估算例例 4 4 求数 a的整数部分．10 100?10 101?10 102???10 110慧思老师小升初培优讲义解析解析这道题显然不宜对分母中的 11 个分数进行通分求和．要求 a 的整数部分，只要 知道 a 在哪两个连续整数の间．因为 a 中的 11 个分数都不大于不小于，10 所以??10 100?10 101?10 102???10 110?10 100?即１1.1 由此可知 a 的整数部分是 1．?10 100?10 101?10 102???10 110?举一反三1、已知则A的整数部分是_______8A? ??????2、求数的整数部分是几1 9????3、求数的整数部分．1 1?????4、已知S,则S的整数部分是.1