cs7龙珠2.2下载1无法加载好delta.lst
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时间：2011-07-04 23:05
靠！帮忙！开不了游戏啊【龙珠cs吧】_百度贴吧
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靠！帮忙！开不了游戏啊
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CS7龙珠2.1的游戏这么许愿啊?
知道的人快说说
我有更好的答案
收集好七颗龙珠后..然后按B召唤神龙出来....等神龙出现了...就在按B一次..然后按数字键1-8最好是许22是增加100W战斗力..
找齐7颗龙珠，放在一起，用那美克语将神龙召唤出来，神龙会让将它召唤出来的人说出他的3个愿望
收集好七颗龙珠后,召唤神龙出来,等神龙出现,神龙会让将它召唤出来的人说出他的3个愿望
“收集好七颗龙珠后,然后按B召唤神龙出来,等神龙出现了……”应该是可信的哦^_^
是的只能许一个愿望，许过后可以变塞雅人2.然后是3，和4
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一位佛罗里达州的女士用 iPhone 为她老公拍摄一张河面照片，照片中让人惊讶的是河面突然突然90度转折，小船走到了河面的尽头就要掉下去。但这并不是眼前真实的样子，也不是 AR，河面依然平静，他们也并没有掉下去，但眼前的平静河面和照片中的90度急流而下…
问这种问题的人，基本上可以肯定是个外行。C罗是不可能超越梅西的，即使C罗有更多的金球奖，更多的冠军，还是不可能，何况并没有。讨论一个人的历史地位，当然要考虑冠军，考虑个人荣誉，但对足球来说，还远远不够，虽然足球是团体运动，但个人能力依然是非常重要的指标，特别是对这种历史级别的超级巨星来说，更为重要，否则，你无法解释为什么克鲁伊夫历史地位高于贝肯鲍尔，马拉多纳贵为第二任球王。虽然现在很多球迷总是喜欢将梅西和C罗并列，但实际上两人还是不是一个水平的球员，C罗很优秀，这一点必须承认，也很努力，自律，球员的楷模，是这个时代第二好的球员，但他和梅西的差距恐怕比他和其他球员的差距还要大。这是天赋的差距，个人能力的差距，不是努力可以弥补的。足球是团队运动，化学反应好的球队可以战胜星光更璀璨的球队，但不代表个人的超越
问这种问题的人，基本上可以肯定是个外行。C罗是不可能超越梅西的，即使C罗有更多的金球奖，更多的冠军，还是不可能，何况并没有。讨论一个人的历史地位，当然要考虑冠军，考虑个人荣誉，但对足球来说，还远远不够，虽然足球是团体运动，但个人能力依然是非…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-febb2c618fde85406cb2fbcfaded0fc5_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-febb2c618fde85406cb2fbcfaded0fc5_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&b&ck be是非常适合「新手入门」的香水，群众接受度非常高。&/b&&/p&&br&&p&淡雅而无酒精味，就算你出了一身汗，香味跟汗结合后一样令人感觉舒服。&/p&&br&&p&一百来块的价格很适合学生党。想想在未来炎热的课堂里，其他直男都散发着一股汗酸味，而你却依旧&b&散发着像是阳光大男孩的淡淡皂香。&/b& &/p&&br&&p&&b&姑娘不靠着你坐靠谁坐？&/b&&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6fadd053fa6ba737b0505621eea877ce_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b157cf22a2c30e04b1ef9ef8e93d3ea_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b157cf22a2c30e04b1ef9ef8e93d3ea_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&p&同样适合小年轻的还有这款KENZO旗下的&b&风之恋&/b&。它的味道&b&「淡抹沉吟」&/b&，给予人一种干净少年郎的感觉。&/p&&br&&p&午后暖阳下的那一丝丝慵懒，流露出毫无攻击性的架势。给与姑娘无限的安全感。&/p&&br&&p&&b&能给直「狼」披上一层伪装羊皮，你不心动？可惜留香不长，伪装不够持久。&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5aeb3df3dc17bb8ecc2eab_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5aeb3df3dc17bb8ecc2eab_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&你如果问姑娘们喜欢男生身上散发着什么味道。得到的回答往往是&b&「衣服上透出阳光晒过的味道」&/b&。&/p&&br&&p&这款香水恰恰是这样的清香。前调淡淡的茉莉香散去后，就是漫长的洗衣粉味。&/p&&br&&p&犹如晒干净的衣服，闻起来能感到格外温暖。留香比风之恋更长，价格也更便宜。&/p&&br&&p&&b&小伙子，难道不想一整个夏天都透露出吸引异性的芬芳？&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2abcc33daa75ad_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-2abcc33daa75ad_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&br&&p&一款直接入大瓶不会犯错的香水，烟草胡椒的辛辣，加微微的柑橘的清甜味，传闻中&b&「男朋友的香气」&/b&。&/p&&br&&p&这是一种微熟暖男的气息，从大男孩蜕变成男人的过度阶段。
&/p&&p&尾调很淡，暖意散去之后就是一种安心的感觉，像床上激战过后一个轻轻的吻，让人踏实又迷离。&/p&&br&&p&&b&喜欢它的姑娘那么多，就缺一个大吉岭茶的你。&/b& &/p&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-700147dff65dcf0e40f522_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-700147dff65dcf0e40f522_r.jpg&&&/figure&&br&&p&一款有着夏天气息的香水。清爽的橘子汽水夹杂着湿湿的海水味。&/p&&br&&p&这时候要是迎面吹来一股微风，会让人有仿佛漫步在海滨长廊的舒爽感觉。&/p&&br&&p&艳阳、西瓜、海滩还有比基尼姑娘。没有这款海滩斩女香怎么可行？&/p&&br&&p&&b&喷上它，让你与比基尼姑娘更进一步。&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c16df5672b00bea5e2a2ea1e66a1b4ac_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c16df5672b00bea5e2a2ea1e66a1b4ac_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&&b&一款别人如果不凑近喽，便可能闻不到的香水。&/b&带有木质香气和淡草香，闻起来比较MAN。&/p&&br&&p&如果你刚和喜欢的姑娘确立关系，那么下一步的临门一脚就要靠它了！&/p&&br&&p&你就像一本书一般，而身上的这股暗香就好比书中蕴藏的惊喜桥段。&/p&&br&&p&姑娘在深入了解你的时候，这一不经意的发现会让你在她心中更加高大帅气。&/p&&br&&p&&b&用一句话形容的话就是：装逼如风，常伴吾身。&/b&&/p&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c4b606f1a3fcdd961d65c_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c4b606f1a3fcdd961d65c_r.jpg&&&/figure&&br&&p&它与前面的风之恋有些相似，但相比之多了些许成熟味。就像刚洗过澡的大男孩，&b&身上透露出伴随着雄性荷尔蒙的青春朝气。&/b&&/p&&br&&p&也有人说它像舒肤佳的味道，确实有点。
&/p&&p&&b&如果是个姑娘对你这么说。不用争辩，她开始注意你了，撩她就对了。&/b&&/p&&br&&p&&b&如果是个直男对你这么说。也不用争辩，他这是在乎你，丢块舒肤佳让他捡就对了。&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dfb3a47f_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dfb3a47f_r.jpg&&&/figure&&br&&p&如果形容大吉岭是微熟还略带稚气的大男孩，那么大地就是桀骜辛辣外表下成熟稳重的&b&「霸道总裁」&/b&。&/p&&br&&p&所以十分不建议年轻小伙子使用。毕竟，没像14爷我这样子的男人是驾驭不起它的。&/p&&br&&p&稳居许多排行榜第一，以及每每男香推荐总有一席地位的大地就是这样让人着迷。&/p&&br&&p&&b&一款毛没长齐就别瞎尝试的香水。&/b&&/p&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4fdaafc4b33f36c495b69cad5d79fa14_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4fdaafc4b33f36c495b69cad5d79fa14_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&p&很多人习惯把它定义为骚香。没错，蔚蓝前调给人带来的感觉就像&b&「轻熟美男」&/b&。&/p&&br&&p&嘴角微微上翘，故意露出不怀好意的微笑。有些轻浮但又让人难以拒绝。&/p&&br&&p&不过，随着前调的消失。随之而来的中调又给人带来一种沉稳温柔的味道。&b&就像电影中那些邪魅反派，让人爱恨交加&/b&。&/p&&br&&p&如果有直男说你这样太gay，找楼上桀骜古龙水那借块舒肤佳砸过去便是。
&/p&&p&&b&坏男人，要的就是那股狠劲！&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4aa4e498dbfead7da79319_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4aa4e498dbfead7da79319_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&p&清新，淡淡的味道似有似无，但辨识度又很高。&/p&&br&&p&寄情水是大自然的象征，揉合优雅与自然清新，仿如一位气质典雅的男子。&/p&&br&&p&懂行的人会知道寄情属于街香，那为什么推荐入手？&/p&&br&&p&&b&答案很简单，因为很多姑娘喜欢。&/b&&/p&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-30e6f5a68e97bebc9f2ec61d6af33306_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-30e6f5a68e97bebc9f2ec61d6af33306_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&刚开始闻会有所不适，但慢慢习惯后会被像是混着烟草味的茶香所吸引。&/p&&br&&p&好似一双深邃的眼睛，温柔中又带着些许哀伤。不经意间告诉别人，你是一个有故事的男人。&/p&&br&&p&&b&要是让人闻见，分分钟想请你喝酒。然后跟你从过去谈到未来，从天文地理谈到人生哲学。&/b&&/p&&br&&p&以上。&/p&&br&&br&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/Mjq1rVbEsQvOrRLO928g& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/Mjq1rVb&/span&&span class=&invisible&&EsQvOrRLO928g&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&
ck be是非常适合「新手入门」的香水，群众接受度非常高。 淡雅而无酒精味，就算你出了一身汗，香味跟汗结合后一样令人感觉舒服。 一百来块的价格很适合学生党。想想在未来炎热的课堂里，其他直男都散发着一股汗酸味，而你却依旧散发着像是阳光大男孩的淡淡…
&p&「桌面整理」想必是所有使用过现代智能手机的人都经历过甚至烦恼过的事情，如何整理手机桌面，如何才能将效率最大化，如何整理才最美观等等。&/p&&p&桌面整理其实是一个相当个人的话题，每个人都有不同的习惯，每个人都有自己的审美标准，所以对于桌面的布局想必「一千个人眼里有一千个哈姆雷特」。&/p&&p&AppSo（微信号 appsolution）在这里以 iPhone 为例：分享&b&整理出方便的桌面几个原则&/b&。&/p&&p&而 Android 党，你们有着丰富的 Launcher，看了本文之后，相信能玩得更溜。&/p&&br&&p&对于我来说，一个理想的桌面需要注意以下几点。&/p&&h2&&b&一、Dock 栏&/b&&/h2&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0c86e50ac22_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0c86e50ac22_r.jpg&&&/figure&&p&Dock 栏指的就是屏幕下方那四个不会跟随页面而变动的位置，在这个位置放置的 app 需要符合两个最：&/p&&ol&&li&&b&最常用&/b&；&/li&&li&&b&最便捷：&/b&需要用到时可以最快打开。&/li&&/ol&&p&我认为只有满足了以上两个「最」的 app 才有资格被放置被在 Dock 栏。&/p&&p&哪怕你发现最常用的是微信或者是微博，我也会建议你将其放在 Dock 上，这样可以在很大程序上减少页面滑动、寻找 app 所浪费的时间。&/p&&p&简单地想着怎样将他们隐藏起来是没有意义的，如果 app 对你的诱惑没有根除，那么无论你将它放置在了哪边，你都还是会费尽周折去找到它，只是徒增时间的浪费罢了。&/p&&p&&b&如果想真正杜绝手机的诱惑，不妨在 appsolution 后台回复「0411」获取解决方案。&/b&&/p&&br&&h2&&b&二、首屏&/b&&/h2&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-46bbe0ac486ac38cae5187_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-46bbe0ac486ac38cae5187_r.jpg&&&/figure&&p&在安顿好 Dock 栏之后，我们需要关注的是点按 home 键会回到的第一页屏幕 —— 首屏。&/p&&p&对于安放在「首屏」的 app 主要有以下几个原则：&/p&&ol&&li&放置使用频率仅次于 Dock 栏 app 的其他 app；&/li&&li&越常用越往下安放；&/li&&li&不放置文件夹。&/li&&/ol&&p&既然系统已经默认将最高的权重分配给了首屏，我们自然不能浪费资源，将经常用到但是却又次于 Dock 栏位置的 app 放在首屏，同样也是需要保证在需要用到的时候不费力气就能找到。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ac66ffbe2f499af54e238c3_b.jpg& data-rawwidth=&745& data-rawheight=&700& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&745& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ac66ffbe2f499af54e238c3_r.jpg&&&/figure&&p&图片来源：&i&How to design for thumbs in the Era of Huge Screens&/i&&/p&&p&同时，我们还要来介绍一个「热区」的概念，在我们以正常的手势握持手机的时候，一般都是使用大拇指来进行导航以及选择的操作，那么在正常的持机姿势下，使用大拇指可以轻松操控的屏幕区域就称之为「热区」。&/p&&p&&b&AppSo（微信号 appsolution）认为，在了解自己的热区之后，那么我们要尽量将常用到的 app 放在热区所能覆盖的范围内，如下三排，一触即达。&/b&&/p&&p&由于文件夹本身的逻辑，在打开任何被放置于文件夹之内的 app 在被开启之前，都需要先将文件夹的点开，这就已经违背了首屏 app 需要一触即达的目的，所以不建议将文件夹放置于首屏上。&/p&&br&&h2&&b&三、次屏&/b&&/h2&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-19080de91bacca96a9ee54_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-19080de91bacca96a9ee54_r.jpg&&&/figure&&p&在安排完了最重要的 Dock 以及首屏之后，剩余的 app 通通扔到「次屏（第二瓶）」中去。当然不是一股脑地全部扔过去，而是根据一定规则进行归类、整理放入不同的文件夹中。&/p&&p&我们通常将不同功能类别的 app 分别放入不同的文件夹，比如说「购物」、「游戏」等等。&/p&&p&在妥善安顿所有的 app 之后，下面可能还会有几个空位，我们可以选择将常用的，但是频率次于首屏的 app 放置于此处。&/p&&br&&h2&&b&四、第三屏&/b&&/h2&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3d4a861a6f73ebbec6c5d98deb31af2f_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3d4a861a6f73ebbec6c5d98deb31af2f_r.jpg&&&/figure&&p&前面说道，将所有剩余的 app 都放到次屏去，那么第三屏还有什么存在的必要吗？它的存在就是为了留有空间给新 app「实习」。&/p&&p&我们都会偶尔下载一些新鲜的 app 体验，但是绝大多数时候，它们可能在我们的手机上撑不过 1 天，为其安排位置也是浪费时间。&/p&&p&如果这个 app 在使用中被证明有必要留下，那么我们再对其进行整理也不迟，同时也不会影响我们日常使用的布局。&/p&&br&&h2&&b&小技巧&/b&&/h2&&p&那么很多人可能会想，如第二屏这般使用文件夹整理之后，甚至连自己有些时候想找一些 app 都不知道应该如何快速定位。没关系，这些的&b&小技巧&/b&解决你心中的困惑。&/p&&br&&p&&b&1. Spotlight / Siri 快速搜索&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4cf295d9d3ace964df80dbd3d026435b_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4cf295d9d3ace964df80dbd3d026435b_r.jpg&&&/figure&&p&在 iOS 桌面下滑就可以调出搜索页面，键入 app 的名称就可以出现想要寻找的 app。&b&Spotlight 对于中文输入法进行了优化，即使是处于拼音状态，结果也是会正常显示。&/b&&/p&&p&另外一个快速搜索 app 的方法就是「Siri」。&/p&&p&例如，只需对 Siri 说，「打开 AppSo」，Siri 就会自动开启，相对于 Spotlight 需要手动输入，Siri 搜索确实方便不少，只是在不方便说话的情况下还是老老实实地用 Spotlight 吧。&/p&&br&&p&&b&2. 使用 iTunes 整理&/b&&/p&&p&阻碍着绝大多数人整理桌面的原因恐怕就是 iOS 移动图标的方式实在是太过于低效、缓慢。&/p&&p&现在许多国产 Android Rom，如 MIUI、Flyme 等等都支持批量排列桌面图标的功能。对比之下，iOS 需要一个个图标拖动的整理方式实在是过于低效。&/p&&p&不过，iTunes 可以在一定程度上拯救我们。将 iPhone 连接上 PC/Mac，打开 iTunes 点击左上角小手机的图标，然后进入左边栏「应用」，就可以看到自己手机桌面的布局了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-84e9c8b8b29bacff4f3814c1fcbfce1b_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&395& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-84e9c8b8b29bacff4f3814c1fcbfce1b_r.jpg&&&/figure&&p&通过 iTunes，我们可以：&/p&&ol&&li&快速调整桌面顺序；&/li&&li&双击桌面，打开详情，用鼠标拖动 app 图标；&/li&&li&对文件夹进行同样的管理。&/li&&/ol&&p&AppSo（微信号 appsolution）认为，相对于在手机上一个个图标慢慢拖拽，在 iTunes 上处理，虽然也并不是非常方便，但是还是有效率得多。&/p&&br&&p&&b&3. Siri 建议&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-aac035d2fbb5ca629a7800bae9ada35e_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&884& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-aac035d2fbb5ca629a7800bae9ada35e_r.jpg&&&/figure&&p&这是一个默认存在于大家通知中心的小插件。点击展开，将原来只显示 4 个图标拓展成 8 个。&/p&&p&我们&b&经常使用&/b&、&b&最近安装&/b&或者 &b&iOS 智能判断&/b&我们可能会在这个时间段使用的 app 都会出现在 Siri 建议中，是打开 app 的捷径之一。&/p&&br&&p&&b&3. 文件夹 3D Touch&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-dc062bcb89fa58955ced2fb_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&884& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dc062bcb89fa58955ced2fb_r.jpg&&&/figure&&p&3D Touch 是伴随着 6s 一代 iPhone 共同推出的功能，许多操作在 3D Touch 的加成下变得更加高效了。&/p&&p&&b&重按文件夹就可以快速查看文件夹应用的未读通知，以及数目情况。&/b&&/p&&p&这样的操作，相对于我们之前发现文件夹上存在角标，然后点开文件夹来一个个查看，甚至需要翻页的方式高效了不少。&/p&&p&我们之前将所有不常用的 app 放到了次屏上，并且按照类别放进了不同的文件夹，那么很可能会出现文件夹内部还有好几页的情况，使用 3D Touch 就能在一定程度上帮助了我们以最快的速度查看文件夹内部的情况。&/p&&blockquote&关于 3D Touch 的详细剖析，可以看 AppSo 的这个答案：&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/3550&/span&&span class=&invisible&&3289/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/blockquote&&h2&&b&极端&/b&&/h2&&p&个别同学可能是生活较为空虚或者对于 app 的排布存在强迫症，网络上也曾经出现一些非常极端的桌面排布方式：&/p&&ol&&li&按照颜色排列；&/li&&li&按照 app 字母顺序排列。&/li&&/ol&&br&&p&&b&1. 按照颜色排列&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ee1da547ab53b351f689da_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ee1da547ab53b351f689da_r.jpg&&&/figure&&p&图片来源网络&/p&&p&按照颜色排列其实不难理解，在花费了大量时间、精力来完成排列之后，咋一看起来确实比较美观，但是每一屏或者每一个文件夹中的 app 之间没有清晰的功能划分，寻找起来较为困难，你可能就需要大量地依靠 Spotlight。&/p&&p&除了一些非常熟悉的 app，比如说绿色的微信、橙色的淘宝等等还算是可以快速地找到，但是要是遇到了双 11 这种日子，国产 app 都开始「穿衣服」，各种花花绿绿的颜色将严重破坏和谐感。&/p&&p&所以总的来说，&b&按照颜色来整理的方式在长期看来对于效率的提升是没有任何帮助的，并且不仅前期需要耗费大量的精力，后面还需要不断维护。&/b&&/p&&br&&p&&b&2. 按照字母顺序排序&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-aba68a0efd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-aba68a0efd_r.jpg&&&/figure&&p&图片来源：SCREENSHOT FROM IPHONE KYLI SINGH&/p&&p&咋一想感觉按照 app 字母的顺序来排列还不错，但是真正想一想，这样的排列方式没有任何意义，因为 app 的名字跟他们的功能没有任何联系，所以这样的排列也只能满足强迫症，并且对于效率不会有丝毫的提升。&/p&&br&&h2&写在最后&/h2&&p&整理桌面带给我们的不仅仅是效率上的提升，同时还是「吾日三省吾身」般的自我审视。&/p&&ul&&li&我真的需要将微信放在 Dock 栏上吗？&/li&&li&我真的需要每天花这么多时间在手机上吗？&/li&&li&这个 app 有必要安装吗？&/li&&/ul&&p&经过了一轮整理之后你将更加了解自己对于手机的使用习惯，同时要是发现日常中有太多时间浪费在了手机上，那么就应该针对性地做出相应的调整，而不是将那些 app 藏起来，这样只会让你浪费更多的时间。&/p&&p&多多关注自己最近经常用到什么 app，如果频率很高，那么不要犹豫，将它放到你的首屏上来吧，这样会省下你很多的时间。&/p&&p&当然啦，选一个干净、简洁的壁纸也非常有帮助。&/p&&br&&p&&b&关注 AppSo 知乎机构号，让你的手机好用到哭。&/b&&/p&&p&作者 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/52cddbe7ec9586dfbcd08faf120b16a1& data-hash=&52cddbe7ec9586dfbcd08faf120b16a1& data-hovercard=&p$b$52cddbe7ec9586dfbcd08faf120b16a1&&@陈风潮&/a& ，转载请在微信公众号 AppSo 后台回复「转载」获取授权规则。&/p&
「桌面整理」想必是所有使用过现代智能手机的人都经历过甚至烦恼过的事情，如何整理手机桌面，如何才能将效率最大化，如何整理才最美观等等。桌面整理其实是一个相当个人的话题，每个人都有不同的习惯，每个人都有自己的审美标准，所以对于桌面的布局想必「…
&p&曾经在别的问题下看到这样一条回答：&/p&&p&1、当你有足够的钱，并且不想花太多心思在“怎么让手机更听话省心”上，买最新款最高配的iphone。&/p&&p&2、上一条第一句不符合的话，就买前一年的iphone。&/p&&p&3、所有鼓吹“八核（十核）处理器”“XX拍照效果”“强大安全性能”之流而不写上具体型号、感光元件的手机，都没有任何购买的必要。&/p&&p&4、千元以下，基本上，只有小米（红米）的手机是值得花钱的。&/p&&p&5、原则上，除了find和xplay系列，Oppo和Vivo没有购买的价值。&/p&&p&6、任何鼓吹自拍效果的手机，基本上没有购买的价值。&/p&&p&7、华为手机只能买旗舰（p/mate），荣耀系列也是。&/p&&p&8、如果没有一定的分辨能力，请上京东买手机，上淘宝买手机跟送钱分别不大。&/p&&p&9、小米是一家买不了吃亏买不了上当但你绝对贪不着什么便宜的厂商。&/p&&p&10、如果不是特别的爱好需求，不要买日韩厂商的手机（三星LG索尼）&/p&&p&11、同上，台湾厂商也是（华硕HTC）&/p&&p&12、这年头本质上来说手机厂商都是组装商，不存在爱国手机一说——华为的摄像头还是德味呢。&/p&&p&13、如果实在不打算买苹果，请尽量选择国产安卓手机，毕竟国产UI在易用度上实在是胜过外国友商太多。&/p&&p&14、谁推荐你windows phone你就抽出40米长的大砍刀砍死他。&/p&&p&15、推荐云os的请换80米的砍他。&/p&&p&16、不要随便听人介绍一加这好那好你就过去，这是一个实力足够但是赞誉过度的手机。&/p&&p&17、中华酷联这四家有三家是天坑，不用我说你也知道是哪三家，所以就不要往里钻了。&/p&&p&18、一个原则：大厂的手机不见得性价比多高质量多好，但比起三天两天就整幺蛾子的，他们多少还是可靠点（我没有在说锤子，真的没有）。&/p&&p&19、手机的处理器如果不表明&/p&&p&骁龙8XX（6XX），&/p&&p&Helio Xxx（xx为数字），&/p&&p&麒麟9XX（华为），&/p&&p&Exynos 8XXX（三星/魅族），&/p&&p&AXX（苹果），&/p&&p&那他多半是打算坑你。&/p&&p&20、接上一条：如果这个手机用的是Helio Xxx，那你最好做被坑的准备。毕竟这个世界上只有&/p&&p&苹果，骁龙，Exynos，麒麟&/p&&p&和&/p&&p&其他&/p&&p&这几家处理器。&/p&&p&21、索尼大法好，索尼手机坑的你哇哇乱叫。&/p&&p&22、如果你不是具备随时能充电条件的人，建议买4000mah以上电池容量的手机。&/p&&p&23、玩游戏还是屏幕越大越好，只要没有ipad mini那么大就可以了。&/p&&p&24、为了起码的生命安全，请拒绝三星。&/p&&p&然后等啰里啰嗦说完这么多，妹子一般奔着鹿晗/吴亦凡就跑到OPPO/vivo门店去了……&/p&&p&_______________________________________________________________&/p&&p&我觉得这个答案还是很有道理的，写出这样答案的人应该也是个懂手机的人。&/p&&p&我是个大学生，我包括身边很多人，很喜欢研究手机，与已经工作的人不同，我们有大量的时间可以花在研究哪个手机更好，哪个手机在什么方面更有优势。我敢自信的说，对于手机的熟悉，我们比一般人是要懂得多得多的。那我们买的是什么手机？有人买的是iphone,因为iphone用起来比较省心；有人买的是小米note,因为小米性价比高，也很流畅；有人买的vivo xplay6,因为颜值高，曲面屏，相比于三星，还便宜......&/p&&p&&b&其实越懂手机的人，越知道哪款手机更适合自己。&/b&&/p&&p&没错，iphone7是很好，可你只有1000的预算，你怎么去买它？这时候，小米、魅族就是不错的选择。这也是我贴出上面的那个答案的原因，&b&适合自己的，才是最好的。&/b&&/p&
曾经在别的问题下看到这样一条回答：1、当你有足够的钱，并且不想花太多心思在“怎么让手机更听话省心”上，买最新款最高配的iphone。2、上一条第一句不符合的话，就买前一年的iphone。3、所有鼓吹“八核（十核）处理器”“XX拍照效果”“强大安全性能”之…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/f56ced0fef5ae0_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/f56ced0fef5ae0_r.jpg&&&/figure&&p&（转载请注明出处，真的不费事）&/p&&p&已于更新，地址：&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/wille/& class=&internal&&傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于 - 与时间无关的故事 - 知乎专栏&/a&&/p&我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……&br&&p&这篇文章的核心思想就是：&/p&&h2&要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。&/h2&&p&傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。&/p&&br&&p&————以上是定场诗————&/p&&p&下面进入正题：&/p&&p&抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……&/p&&h2&一、嘛叫频域&/h2&&p&
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现&u&&b&世界是永恒不变的&/b&&/u&，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。&/p&&br&&p&先举一个&b&&u&公式上并非很恰当&/u&&/b&，但意义上再贴切不过的例子：&/p&&p&在你的理解中，一段音乐是什么呢？&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/a01cc4fb9fb1554f9fda82_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&105& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&https://pic1.zhimg.com/a01cc4fb9fb1554f9fda82_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/965a56d91f54d5cd80d3e7a807e01be6_b.jpg& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&130& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&https://pic2.zhimg.com/965a56d91f54d5cd80d3e7a807e01be6_r.jpg&&&/figure&好的！下课，同学们再见。&/p&&p&是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。&/p&&p&现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。&/p&&p&将以上两图简化：&/p&&p&时域：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/7ec3709ecdb70c512ac19aa_b.jpg& data-rawwidth=&200& data-rawheight=&110& class=&content_image& width=&200&&&/figure&频域：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/1ca366b593d877a16c8ab9_b.jpg& data-rawwidth=&137& data-rawheight=&199& class=&content_image& width=&137&&&/figure&&p&在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。&/p&&p&所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~）&/p&&p&以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）&/p&&h2&你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。&/h2&&p&（众人：鸡汤滚出知乎！）&/p&&p&抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。&/p&&p&而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。&/p&&br&&h2&二、傅里叶级数(Fourier Series)&/h2&&p&还是举个栗子并且有图有真相才好理解。&/p&&p&如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7a83f7d06bee1d4b7f0c19b7addf8cb0_b.jpg& data-rawwidth=&684& data-rawheight=&527& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&684& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7a83f7d06bee1d4b7f0c19b7addf8cb0_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）&/p&&p&第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)&/p&&p&第三幅图是4个发春的正弦波的叠加&/p&&p&第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加&/p&&p&随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？&/p&&p&（只要努力，弯的都能掰直！）&/p&&p&随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。&b&一个矩形就这么叠加而成了。&/b&但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）&/p&&p&不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。&/p&&br&&p&还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/563deb4aba_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/563deb4aba_r.jpg&&&/figure&在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。&/p&&p&这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。&/p&&p&&b&好了，关键的地方来了！！&/b&&/p&&p&如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。&/p&&p&对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。&/p&&p&（好吧，数学称法为——&b&基。&/b&在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有&b&正交基&/b&这样的词汇我会说吗?）&/p&&p&时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&的正弦波cos（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&t）看作基础，那么频域的基本单元就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&。&/p&&p&有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。&/p&&p&接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/81cac162c2d76df75a6690a_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&201& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&https://pic3.zhimg.com/81cac162c2d76df75a6690a_r.jpg&&&/figure&&p&正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/e15e1db741930_b.jpg& data-rawwidth=&256& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&256&&&/figure&&/p&&p&知乎不能传动态图真是太让人惋惜了……&/p&&p&想看动图的同学请戳这里：&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_square_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series square wave circles animation.gif&/a&&/p&&p&以及这里：&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif&/a&&/p&&p&点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这里的文章这么没节操是不是。&/p&&p&介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&567& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_r.jpg&&&/figure&&br&这是什么奇怪的东西？&/p&&p&这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/afec7b657e8c609bdafff0c9_b.jpg& data-rawwidth=&702& data-rawheight=&317& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&702& data-original=&https://pic4.zhimg.com/afec7b657e8c609bdafff0c9_r.jpg&&&/figure&&p&再清楚一点：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/40cf849e55edd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&481& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/40cf849e55edd_r.jpg&&&/figure&&br&&/p&&p&可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。&/p&&br&&p&动图请戳：&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_and_transform.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series and transform.gif&/a&&/p&&p&老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。&/p&&p&但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？&/p&&br&&p&我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……&/p&&br&&p&抱歉，还是没写完。但是我想坚持看到这里的人已经很不容易了。我们都休息一下，下一讲再继续……&/p&
（转载请注明出处，真的不费事）已于更新，地址：我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于…
&p&结合自己的理解写点。&/p&&p&这个帖子分三个部分，第一部分为怎么从傅里叶级数推导出傅里叶变换，第二部分为两者的联系 ~~第三个为通过傅里叶级数求取傅里叶变换的例子。&/p&&p&不好意思我update了，后面还加了一些内容。&/p&&p&[19/04/2017] 看到大家继续点赞，那我再加点有关傅立叶级数的理解吧，本应当放到第一节，但是因为公式都编号了，不想改了。&/p&&ul&&li&&b&正交函数基的概念&/b&&/li&&li&&b&傅立叶级数和正交多项式级数&/b&&/li&&li&&b&正交多项式和泰勒级数展开&/b&&/li&&li&&b&正交概念、级数展开在工程中的应用&/b&&/li&&li&&b&【19/04/2017】傅立叶级数的直观理解&/b&&/li&&/ul&&p&++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++&br&&u&傅里叶变换的由来&/u&&/p&&p&傅里叶级数适用于周期信号中，下面给出其表达式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7Ba_%7Bk%7De%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7D+t%7D+%7D+& alt=&\tilde{x}(t) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }{a_{k}e^{jk\omega _{0} t} } & eeimg=&1&&
&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-T%2F2%7D%5E%7BT%2F2%7D%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt+& alt=&a_{k} =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\tilde{x}(t)e^{-jk\omega_{0}t }dt & eeimg=&1&& (2)
&/p&&p&周期的意义在于限定傅里叶系数的积分公式 (如(2)所示) 的积分上下限，把公式(1)代入到(2)中可以发现，(2)式子左右恒等，其中利用到了e指数的正交性。&/p&&p&那如果是非周期信号呢？公式(1)中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+_%7B0%7D+& alt=&\omega _{0} & eeimg=&1&&都已经不存在了（或者说是无穷小），此时时域信号便不可能写成如式子(1)级数的形式。但数学家们不甘心啊，如果把傅里叶只限定在周期信号，世界得多无趣啊。好，那就试着能不能重新定义非周期信号的傅里叶变换呢？数学家们思索着，这两种信号的区别在于一个是有固定的基频，另外一个基频无穷小。哎，等等？好像灵感来了，无限小的求和概念不就对应着积分嘛！那我们就尝试这能不能从这个角度来推导出非周期信号的傅里叶变换呢，好的，那我们试试吧。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-941d27ca6b5a3eebd58b299eaecc4f12_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&313& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-941d27ca6b5a3eebd58b299eaecc4f12_r.jpg&&&/figure&&p&考虑上述两个信号，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+& alt=&\tilde{x}(t) & eeimg=&1&&对应为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29& alt=&x(t)& eeimg=&1&&的周期延展。对于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+t%5Cright%7C+%5Cleq+T%2F2& alt=&\left| t\right| \leq T/2& eeimg=&1&&, 有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+x%28t%29%3D%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+& alt=& x(t)=\tilde{x}(t) & eeimg=&1&&。对于周期信号&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+& alt=&\tilde{x}(t) & eeimg=&1&&，对应的傅里叶系数为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-T%2F2%7D%5E%7BT%2F2%7D%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-T%2F2%7D%5E%7BT%2F2%7Dx%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7Dx%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt& alt=&a_{k} =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\tilde{x}(t)e^{-jk\omega_{0}t }dt =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk\omega_{0}t }dt =\frac{1}{T} \int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jk\omega_{0}t }dt& eeimg=&1&&
(3) &/p&&p&现在定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29& alt=&X(j\omega )& eeimg=&1&&为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Ta_%7Bk%7D& alt=&Ta_{k}& eeimg=&1&&的包络，其中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5Comega+_%7B0%7D& alt=&k\omega _{0}& eeimg=&1&&用&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&来代替，&u&注意，此处的定义只是一个notation的变化，没有改变方程任何的东西&/u&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29%3D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7Dx%28t%29e%5E%7B-j%5Comega+t+%7Ddt& alt=&X(j\omega )= \int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t }dt& eeimg=&1&&
(4)&/p&&p&显然，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D& alt=&a_{k}& eeimg=&1&&只是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29& alt=&X(j\omega )& eeimg=&1&&的等间隔采样&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7DX%28jk%5Comega+_%7B0%7D%29& alt=&a_{k}=\frac{1}{T}X(jk\omega _{0})& eeimg=&1&&
(5)&/p&&p&注意，把傅里叶系数表示为包络的采样，应该算是数学家的直觉尝试，或者说是他们常用的技巧吧，因为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5Comega+_%7B0%7D& alt=&k\omega _{0}& eeimg=&1&&取极限&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+%5Crightarrow+0& alt=&\omega_{0} \rightarrow 0& eeimg=&1&&有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5Comega+_%7B0%7D%3D%5Comega+& alt=&k\omega _{0}=\omega & eeimg=&1&&, 方便后面进一步把级数转变成积分形式。其中没有把T集成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29& alt=&X(j\omega )& eeimg=&1&&中，应该算是大家的约定吧，没办法，只能按照那些大牛的爱好了~ 好，那现在我们把公式(5)代入公式(1)中&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7DX%28jk%5Comega+_%7B0%7D%29e%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7D+t%7D+%7D+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7DX%28jk%5Comega+_%7B0%7D%29e%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7D+t%7D+%7D%5Comega+_%7B0%7D& alt=&\tilde{x}(t) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }{\frac{1}{T}X(jk\omega _{0})e^{jk\omega _{0} t} } =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }{\frac{1}{2\pi}X(jk\omega _{0})e^{jk\omega _{0} t} }\omega _{0}& eeimg=&1&& (6)&/p&&p&(6)式中只含有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+_%7B0%7D& alt=&\omega _{0}& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5Comega+_%7B0%7D& alt=&k\omega _{0}& eeimg=&1&&， 此刻，数学家们开始笑了，万事具备，东风亦来，吼吼吼。 令公式(6)中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+%5Crightarrow+0& alt=&\omega_{0} \rightarrow 0& eeimg=&1&&, 也即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%5Crightarrow+%2B%5Cinfty+& alt=&T\rightarrow +\infty & eeimg=&1&&,
此时&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%5Crightarrow+%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+& alt=&x(t)\rightarrow \tilde{x}(t) & eeimg=&1&&,
哇~好熟悉的感觉，瞬间少女变大嫂~~ 公式(6)为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29+%3D+%5Clim_%7BT+%5Crightarrow+%2B%5Cinfty+%7D%7B%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%7D%3D+%5Clim_%7B%5Comega_%7B0%7D+%5Crightarrow+0%7D%7B%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D+X%28j%5Comega+%29e%5E%7Bj%5Comega+t%7D+d%5Comega+& alt=&x(t) = \lim_{T \rightarrow +\infty }{\tilde{x}(t) }= \lim_{\omega_{0} \rightarrow 0}{\tilde{x}(t) } =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty } X(j\omega )e^{j\omega t} d\omega & eeimg=&1&& (7)&/p&&p&其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29& alt=&X(j\omega )& eeimg=&1&&如公式(4)所定义~傅里叶级数的包络奥~在这里重新写下把&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29%3D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7Dx%28t%29e%5E%7B-j%5Comega+t+%7Ddt& alt=&X(j\omega )= \int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t }dt& eeimg=&1&& (8)&/p&&p&到了这里，数学家们才舒了一口气~~哈哈哈，攻城狮大笑，现在可以尽情灌水了~~~&/p&&p&&br&&/p&&p&=======================================================&/p&&p&&u&&b&傅里叶级数和傅里叶变换的关系&/b&&/u&&/p&&p&&br&&/p&&p&很多人说傅里叶技术用于周期信号，傅里叶变换用于非周期信号。那问题来了，周期信号的傅里叶变换是什么？并且和傅里叶级数的系数有什么关系？&/p&&p&为了解开这个谜团，我们先来热热身~来点预备知识。首先，周期信号可以由傅里叶级数表示，即e指数的求和形式，想到这一点，攻城狮开始猥琐的笑了起来，仿佛透视了对面的可爱妹子~~么么哒。。。周期信号的傅里叶变换的关键不就在于e指数的傅里叶变换嘛~~&/p&&p&直接给出e指数的傅里叶变换~&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7Dt%7D%5Crightarrow+2%5Cpi+%5Cdelta+%28%5Comega+-k%5Comega+_%7B0%7D%29& alt=&e^{jk\omega _{0}t}\rightarrow 2\pi \delta (\omega -k\omega _{0})& eeimg=&1&&
(9)&/p&&p&可以验证下~ 把(9)代入到 (7)式中&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D+2%5Cpi+%5Cdelta+%28%5Comega+-+k%5Comega_%7B0%7D%29e%5E%7Bj%5Comega+t%7D+d%5Comega+%3De%5E%7Bjk%5Comega_%7B0%7Dt%7D& alt=&x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty } 2\pi \delta (\omega - k\omega_{0})e^{j\omega t} d\omega =e^{jk\omega_{0}t}& eeimg=&1&& (10)
&br&而对于周期信号可以表示为傅里叶级数&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7Ba_%7Bk%7De%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7D+t%7D+%7D+& alt=&\tilde{x}(t) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }{a_{k}e^{jk\omega _{0} t} } & eeimg=&1&&
(11)&/p&&p&对周期信号进行傅里叶变换，即对公式(11)的e指数进行傅里叶变换~，借助公式(9)，可以得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B2%5Cpi+a_%7Bk%7D%7D+%5Cdelta+%28%5Comega+-k%5Comega+_%7B0%7D%29& alt=&X(j\omega ) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty }{2\pi a_{k}} \delta (\omega -k\omega _{0})& eeimg=&1&&
(12)&/p&&p&可以看出，周期信号的傅里叶变换并不连续，并且都可以表示为一系列的脉冲叠加，其中脉冲前面的系数为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi+a_%7Bk%7D& alt=&2\pi a_{k}& eeimg=&1&&, 即为 傅里叶系数的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi+& alt=&2\pi & eeimg=&1&&倍。&/p&&p&&br&&/p&&p&=======================================================&/p&&p&&u&&b&通过傅里叶级数求取傅里叶变换的例子&/b&&/u&&/p&&p&最经典的例子莫过于脉冲采样理论了&/p&&p&对于采样系统中，我们一般采用脉冲去对信号进行采样，脉冲信号可以表示为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%5Cdelta+%28t-kT%29& alt=&x(t) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT)& eeimg=&1&&(13)&/p&&p&因为这是典型的周期信号，对应的傅里叶级数的系数为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-T%2F2%7D%5E%7BT%2F2%7D%5Cdelta+%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+& alt=&a_{k} =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-jk\omega_{0}t }dt =\frac{1}{T} & eeimg=&1&&
(14)&/p&&p&根据公式(12)其傅里叶变换为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B2%5Cpi+a_%7Bk%7D%7D+%5Cdelta+%28%5Comega+-k%5Comega+_%7B0%7D%29%3DX%28j%5Comega+%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi+%7D%7BT%7D+%7D+%5Cdelta+%28%5Comega+-k%5Comega+_%7B0%7D%29& alt=&X(j\omega ) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty }{2\pi a_{k}} \delta (\omega -k\omega _{0})=X(j\omega ) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty }{\frac{2\pi }{T} } \delta (\omega -k\omega _{0})& eeimg=&1&&
(15)&/p&&p&借助周期信号傅里叶系数和傅里叶变换的关系，可以很快求出周期信号的傅立叶变换。&/p&&p&&br&&/p&&p&==============================================&/p&&p&Update 一下有关正交展开吧。&/p&&p&&b&Part 1: 正交函数基的概念&/b&&/p&&p&正交概念一般是定义在闭区间上的，假设这个闭区间为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&& , 那么对于两个函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&&
和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=h%28x%29& alt=&h(x)& eeimg=&1&& 的正交，说的是其内积为零，如下面公式所示 &/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3Cg%2Ch%3E+%3D+%5Cint_a%5Ebg%28x%29h%28x%29dx+%3D0& alt=&&g,h& = \int_a^bg(x)h(x)dx =0& eeimg=&1&&
(16)&/p&&p&假设函数列&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Be_k%28x%29%7D%2C+%5C+k+%3D0%2C1%2C2%2C%5Ccdots& alt=&{e_k(x)}, \ k =0,1,2,\cdots& eeimg=&1&& 是一组函数基,并满足&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3Ce_m%2C%5C+e_n%3E+%3D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+e_m+%28x%29%5Ccdot+e_n+%28x%29+dx+%3D%5Cdelta_%7Bmn%7D+%3D+%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+1+%26+m%3Dn+%5C%5C+0+%26+m+%5Cneq+n+%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.+& alt=&&e_m,\ e_n& = \int_{a}^{b} e_m (x)\cdot e_n (x) dx =\delta_{mn} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & m=n \\ 0 & m \neq n \\ \end{array} \right. & eeimg=&1&&
(17)&/p&&p&根据魏尔斯特拉斯逼近定理：&/p&&ul&&li&闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近；&/li&&li&闭区间上周期为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi+& alt=&2\pi & eeimg=&1&& 的连续函数可用三角函数级数一致逼近.（其实可以用更加紧凑的方式表述:三角级数和多项式级数在C[a,b]中稠密）&/li&&/ul&&p&可以知道闭区间上&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&&上的连续函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 可以用正交函数列&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e_k%28x%29& alt=&e_k(x)& eeimg=&1&&(多项式和三角级数) 来一致逼近&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7Da_ke_k%28x%29& alt=&f(x) = \sum_{k=0}^{n}a_ke_k(x)& eeimg=&1&&
(18)&/p&&p&根据最优理论,我们考虑其平方误差积分最小&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmin_%7B%5C%7B%5Calpha_k%5C%7D%7DE+%3D+%5Cmin_%7B%5C%7B%5Calpha_k%5C%7D%7D%5Cint_a%5Eb+%5Cleft%28f%28x%29-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%5Calpha_k+e_k%28x%29%5Cright%29%5E2dx& alt=&\min_{\{\alpha_k\}}E = \min_{\{\alpha_k\}}\int_a^b \left(f(x)-\sum_{k=0}^n \alpha_k e_k(x)\right)^2dx& eeimg=&1&&
(19)&/p&&p&根据多维函数求极极值理论，上述式子(19)对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha_k& alt=&\alpha_k& eeimg=&1&& 的导数等于零&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+E%7D%7B%5Cpartial+%5Calpha_k%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+%5Calpha_k%7D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+%5Cleft%28+f%28x%29+-+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En+%5Calpha_i+e_i%28x%29+%5Cright%29%5E2dx+%3D0& alt=&\frac{\partial E}{\partial \alpha_k} = \frac{\partial }{\partial \alpha_k} \int_{a}^{b} \left( f(x) - \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i(x) \right)^2dx =0& eeimg=&1&&
(20)&/p&&p&根据勒贝格测度的控制积分理论，对于闭区间上的连续函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E%28x%2C%5Calpha_k%29& alt=&E(x,\alpha_k)& eeimg=&1&& ，如式子(20),其微分和积分符号可以交换顺序，&b&&i&详细参考我的实变函数Notes ，控制收敛定理84-85页。&/i&&/b&&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//pan.baidu.com/s/1kVJSHWN& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&pan.baidu.com/s/1kVJSHW&/span&&span class=&invisible&&N&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&于是有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac%7B%5Cpartial+E%7D%7B%5Cpartial+%5Calpha_k%7D+%3D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+%5Calpha_k%7D%5Cleft%28+f%28x%29+-+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En+%5Calpha_i+e_i%28x%29+%5Cright%29%5E2dx+%3D0& alt=& \frac{\partial E}{\partial \alpha_k} = \int_{a}^{b} \frac{\partial }{\partial \alpha_k}\left( f(x) - \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i(x) \right)^2dx =0& eeimg=&1&& (21)&/p&&p&进一步有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+%5Cleft%28+f%28x%29+-+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En+%5Calpha_i+e_i%28x%29+%5Cright%29%5Ccdot+e_k%28x%29dx+%3D0& alt=&\int_{a}^{b} \left( f(x) - \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i(x) \right)\cdot e_k(x)dx =0& eeimg=&1&& (22)&/p&&p&根据我们的正交假设(17)显然有如下结论&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha_k+%3D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+f%28x%29+e_k%28x%29dx+%2C%5Cquad+k%3D1%2C2%2C3%2C%5Ccdots& alt=&\alpha_k = \int_{a}^{b} f(x) e_k(x)dx ,\quad k=1,2,3,\cdots& eeimg=&1&& (23)&/p&&p&&b&魏尔斯特拉斯定理的意义&/b&&/p&&p&显然我们可以用上述正交基对任意的连续函数函数去逼近，也总归会得到一个最优逼近下的一组系数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Calpha_k%5C%7D& alt=&\{\alpha_k\}& eeimg=&1&& ,但是这个最优逼近是否能够无限逼近原函数？魏尔斯特拉斯定理的意义就在保证了多项式和三角级数可以一致逼近闭区间上的连续函数，也就是说当正交级数的项达到一定的数目时，在整个闭区间上无限逼近原函数了，严格来讲，就是闭区间上最大的逼近误差可以控制到任意小。&/p&&p&简而言之，闭区间上的连续函数可以等效为无数正交函数基（如傅立叶）的线性叠加，这样的好处就在于不同函数之间的区别现在量化成了不同的正交系数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Calpha_k%5C%7D& alt=&\{\alpha_k\}& eeimg=&1&&的区别，这种正交变换的好处是，打个比方，函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 类比成李雷家的猪，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 类比为韩梅梅家的小麦，现在李雷想吃面粉，韩梅梅想吃肉，于是要想要交换下。但是他们并不知道这只猪该换几斤麦子啊，那好，现在有一个专门的机构，能够把不同物品使用统一种货币（正交基）来量化，于是下次见面直接说李雷的猪多少钱（&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的傅立叶系数），韩梅梅家的麦子多少钱(&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&&的傅立叶系数 )，这样大家就能够快速的有一个量化的比较了。&/p&&p&============================================&/p&&p&&b&Part 2: 傅立叶级数和正交多项式级数&/b&&/p&&p&让这个正交函数基为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bjk+x%7D& alt=&e^{jk x}& eeimg=&1&& ,抑或(&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%2C+%5Csin+x%2C+%5Ccos+x%2C+%5Csin+2x%2C+%5Ccos+2x%2C%5Ccdots& alt=&1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x,\cdots& eeimg=&1&& )，这就在理论上得到了&b&傅立叶级数&/b&。&/p&&p&我们也可以探索把多项式作为我们的基&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%2Cx%2Cx%5E2%2Cx%5E3%2C%5Ccdots& alt=&1,x,x^2,x^3,\cdots& eeimg=&1&& ,但是这组基并不是正交的，不过没关系，我们可以用格拉姆-施密特方法正交化，然后就得到了正交的多项式基，也就是&b&勒让德多项式&/b&，如下图。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-07fcd2134edd4abe3921c98_b.jpg& data-rawwidth=&675& data-rawheight=&424& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&675& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-07fcd2134edd4abe3921c98_r.jpg&&&/figure&&p&==============================================&/p&&p&&b&Part 3: 正交多项式和泰勒级数展开&/b&&/p&&p&既然讲到了正交多项式，那么不妨多说两句。大家注意到公式(19),在闭区间上使用有限项的基来逼近一个函数，这是全局的逼近，我们思考和泰勒展开有什么不同，泰勒展开只是在某个点附近逼近，当展开的级数越多，那么函数逼近的范围就越广。大家也许会注意到对于正交级数在闭区间上展开的系数使用积分来求取的，而泰勒展开的系数确是通过微分操作求取。&/p&&p&简而言之，正交级数（如勒让德级数）是全局的逼近，而泰勒展开是局域的。从上图可以看出，对于正交勒让德级数，从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%2B1& alt=&n+1& eeimg=&1&& 维，需要全部计算前面所有的系数，所以随着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 的增加，正交级数也越来越复杂（这句话的理解是把勒让德级数整理成泰勒级数的样子，那么会发现，每增加一个维度，所有多项式前面的系数都会变化，意味着这些系数重新算过了）。但是对于泰勒级数，每增加一个维度，只需要计算增加的那个维度的导数即可，前面基的系数都不用变。&/p&&p&==============================================&/p&&p&&b&Part 4: 向量正交&/b&&/p&&p&我们回顾下公式(16)&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3Cf%2Cg%3E%3D%5Cint_a%5Eb+f%28x%29g%28x%29dx& alt=&&f,g&=\int_a^b f(x)g(x)dx& eeimg=&1&&&/p&&p&如果我们把区间&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&& 离散化, 在里面采样&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&& 个点，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%2Cg%28x%29& alt=&f(x),g(x)& eeimg=&1&& 就相应变成了&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m%5Ctimes+1& alt=&m\times 1& eeimg=&1&& 维度的向量了，积分也就成了离散和，也就是内积了，（16）可以变为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bm%7D+f%28x_i%29%5Ccdot+g%28x_i%29+%3D+%3C%5Chat%7Bf%7D%2C%5Chat%7Bg%7D%3E& alt=&\sum_{i=1}^{m} f(x_i)\cdot g(x_i) = &\hat{f},\hat{g}&& eeimg=&1&& （24）&/p&&p&那么正交的含义也就顺理成章地成了&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bm%7D+f%28x_i%29%5Ccdot+g%28x_i%29+%3D+%3C%5Chat%7Bf%7D%2C%5Chat%7Bg%7D%3E%3D0& alt=&\sum_{i=1}^{m} f(x_i)\cdot g(x_i) = &\hat{f},\hat{g}&=0& eeimg=&1&&
(25)&/p&&p&所以，函数正交定义的形式和向量正交其实是内恰的，对于线性代数中的向量之间的投影同样可以类比到函数空间中，线性代数中的格拉姆-施密特正交化方法也就可以同样适用于函数基的正交化。把上述正交函数的概念类比到离散的代数空间，我们就从傅立叶级数顺理成章推广到了离散傅立叶变换DFT。&/p&&p&可以参考一个帖子&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？ - psyduck 的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&b&Part 4: 正交概念、级数展开在工程中的应用&/b&&/p&&p&我只说我接触过的&/p&&ul&&li&对于通信的CDMA编码，Spread code是一系列的正交码，每个人分配一个这样的spread code作为身份的验证, 且这些码相互之间正交，所以我们接受到基站传回来的信息时，通过内积方式可以唯一解出属于自己的那部分信息，而不用担心别人的信息对自己信息的串扰。&/li&&li&对于通信的OFDM，本质上是把高速率的信息流拆分成若干的低速率信息流，然后通过载波聚合的方式正交地加载在同一个载波上，接收端通过积分就可以恢复这些信息，然后把多个低速率的信息流恢复为告诉串行的高速数据流。不同的通信编码方式，其共同点就是正交。&/li&&li&在电路理论中，泰勒级数和傅立叶级数也用的非常多，这俩好基友是非线性电路分析的不二法宝。很多非线性电路如功率放大器，整流电路的效率，输出功率的计算，无不利用到了这些级数。还有一些微波半导体器或者系统件行为建模方法，也是用到了这些技术。更加复杂的就是从一维变量的拓展到高维了。&/li&&/ul&
结合自己的理解写点。这个帖子分三个部分，第一部分为怎么从傅里叶级数推导出傅里叶变换，第二部分为两者的联系 ~~第三个为通过傅里叶级数求取傅里叶变换的例子。不好意思我update了，后面还加了一些内容。[19/04/2017] 看到大家继续点赞，那我再加点有关傅…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2df6ba3bcc4a75cde089b39_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&337& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2df6ba3bcc4a75cde089b39_r.jpg&&&/figure&&p&&b&2016院线电影盘点前三期回顾&/b&&/p&&blockquote&&p&第一季春：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=yingquanshijie& class=&internal&&知乎专栏&/a&&/p&&p&第二季夏：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=yingquanshijie& class=&internal&&知乎专栏&/a&&/p&&p&第三集秋：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=yingquanshijie& class=&internal&&知乎专栏&/a&&/p&&/blockquote&&br&&p&早在2014年的时候，我们就探讨过中国电影市场表面繁荣下的危机，在各种保护和优惠措施下，中国电影市场就像《甄嬛传》里服食金丹的皇上，看上去红光满面，底子却越来越空。该来的总会来，2016年的电影市场，终于在埋头猛进中触礁。&br&&/p&&p&&b&请接下来观看《影视圈》杂志联合，龙斌大话电影特别节目，你好！2017（冬）&/b&&br&&/p&&br&&br&&p&&b&正片观看地址：&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//v.qq.com/x/page/e0372hccd97.html& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&你好，2017（冬） - 腾讯视频& data-poster=&//shp.qpic.cn/qqvideo_ori/0/e0372hccd97_228_128/0& data-lens-id=&&&
&img class=&thumbnail& src=&//shp.qpic.cn/qqvideo_ori/0/e0372hccd97_228_128/0&&&span class=&content&&
&span class=&title&&你好，2017（冬） - 腾讯视频&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://v.qq.com/x/page/e0372hccd97.html&/span&
&/b&&/p&&br&&br&&p&&i&&u&本期节目长达一个小时，流量需谨慎&/u&&/i&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3fb2e84d2c2efe0a06c3_b.jpg& data-rawwidth=&1440& data-rawheight=&793& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1440& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3fb2e84d2c2efe0a06c3_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&b&冬季篇文案&/b&（视频中文案略有改动）&b&：&/b&&br&&br&&br&早在2014年的时候，我们就探讨过中国电影市场表面繁荣下的危机，在各种保护和优惠措施下，中国电影市场就像《甄嬛传》里服食金丹的皇上，看上去红光满面，底子却越来越空。该来的总会来，2016年的电影市场，终于在埋头猛进中触礁。&/p&&p&&br&本来，我们可以抱着五十步笑一百步心态，从同样疲软的国外电影市场中找到些许安慰，但是一个好莱坞的颁奖典礼，就提振了欧美院线的士气，回头看看我们的百花和金鸡，不但没有提振士气，反而让已经很乱的“贵圈”，变成了一个笑话。我们说，票房增速放缓不见得是坏事，它一方面可以限制电影人和投资方无节制的媚俗，另一方面印证着观众观影水平的提升。然而，这放缓背后的原因，或许没有我们想象的那么简单。&br&&br&真正值得庆幸的是，在以国庆档为开端的第四季度，国产电影中出现了不止一匹的黑马，即便没有了国产电影保护月，这些影片在与进口大片的厮杀中仍旧不落下风，甚至有绝地逆袭的势头。&br&&br&&br&&/p&&h2&&b&10月&/b&&/h2&&br&10月份约有37部中外电影上映，全国票房总收入34.17亿，比去年同期下滑了18.88％。这个看似不给力的成绩，却非常的值得鼓励，因为在这超过34亿的票房中，有77%是由没有保护伞的国产片贡献的。&br&&br&&br&&b&《王牌逗王牌》&/b&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5dcf4a14eae19c2129670ad_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&257& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-5dcf4a14eae19c2129670ad_r.jpg&&&/figure&《王牌逗王牌》在国庆档的厮杀中获得了2.6亿的票房，对于王晶的批判我们早在《澳门风云3》已经说过了，没必要复述。只是如今的他进化了，一年可以恶心我们两次，同时，从他未来的排片计划我们可以大胆推断，王晶正在向一年三次的新方向努力。对于这种影片我们能做的，只是奉劝大家珍爱生命远离烂片。但如果您说“我看电影只是图个乐，管它好评差评”，相信我，从电影院出来后您不仅乐不出，还会怀疑人生。&/p&&p&&br&&br&&b&《圆梦巨人》&/b&&br&&br&仰仗斯皮尔伯格的大名，《圆梦巨人》作为一部广义上的儿童电影获得了迪士尼1.4亿美元的投资。影片最终效果如我们所见，并没有辜负这超高的预算，奥斯卡最佳男配角马克·里朗斯的形象，通过先进的面部捕捉技术与巨人完美地融为一体，对独创世界观中各处场景的设计，也可谓是匠心独具。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8daefc505d701d9ec4f05bbc_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&251& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-8daefc505d701d9ec4f05bbc_r.jpg&&&/figure&但不得不说，本片骨子里还是一部斯皮尔伯格的作品，它没有继承迪士尼的全年龄皆可寻得乐趣的风格。空有鸡汤缺乏高潮的剧情，让不少观众在影院中沉睡，这也是本片在国内的口碑呈现两极化的主要原因。斯皮尔伯格并没有失败，完成《圆梦巨人》其实是他在圆自己的一个童心梦，只是错误的商业运作让本片有点吃力不讨好，我们还是有理由期待大师下一部纯粹的商业大作。&/p&&p&&br&&br&&b&《侠探杰克：永不回头》&/b&&br&&br&2013年《侠探杰克》上映时，我们以为它会打着阿汤哥的旗号捞一笔就跑，没想到时隔三年居然还整出了个续集。平心而论，本片的质量还算及格，只是官方对杰克这个人物的定义是“草根版杰森·伯恩”，而大多数观众却把它看成“低配版《碟中谍》”。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3ae18b90f897fa6ddf48_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&370& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3ae18b90f897fa6ddf48_r.jpg&&&/figure&错误的心理预期结合糟糕的国内翻译，简直是不给它活路，6100万的票房比第一部还低了3000万，全球票房同样惨不忍睹。照这个节奏下去，应该是没有第三部了，阿汤哥还是安心拍《碟中谍》和《新木乃伊》吧。&/p&&p&&br&&b&《但丁密码》&/b&&/p&&p&至今我们都不能理解，导演朗·霍华德为什么要把这个本该没有续集的系列，活生生拍到第三部，《但丁密码》在本质上跟《绝地逃亡》没有区别，只不过将后者的动作打斗换成了悬疑解谜，内核依然是一部旅游观光片。从佛罗伦萨到威尼斯再到伊斯坦布尔，与其说是跟着但丁的脚步，不如把它当成《刺客信条》的官方旅游指南。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a1fea89e8e44c51ee86a1b6f94f40ed6_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a1fea89e8e44c51ee86a1b6f94f40ed6_r.jpg&&&/figure&&p&欧洲美景下的故事内涵却超乎寻常得空洞乏味，人物动机缺乏可信度不说，原著中颇具讽刺意味的病毒计划，被改编成了“无脑一水黑”的瘟疫，完全抛弃了对当下社会批判隐喻的精华。看着银幕上中年发福的汤姆·汉克斯为了拯救人类卖力地奔跑着，真希望下一季的《跑男》会邀请他来做嘉宾。2006年《达·芬奇密码》在内地就已创造了票房过亿的神话，而如今《但丁密码》可怜的1.3亿国内总票房也证明了强行续作，不如死得其所。&br&&/p&&br&&br&&p&&b&《龙珠Z：复活的弗利萨》&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-13cb71c915d6e2696c9ea_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&314& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-13cb71c915d6e2696c9ea_r.jpg&&&/figure&号称由漫画原著鸟山明参与了脚本制作，并且加入系列最具人气的反派弗利萨的《龙珠Z：复活的弗利萨》，终究没有逃过雷声大雨点小的命运。对于《龙珠》这部在设定上就接受角色复活的作品，把以前的boss拉出来鞭尸，玩一次还能让观众感觉到恶趣味的乐趣，但要天天这么SM，观众会不会吐一地只是时间问题。&br&&br&&br&&b&《机械师2：复活》&/b&&br&&br&我们的老朋友郭达森又来了，在每年拍一部看完即忘的低成本动作片后，他终于玩起了IP，整了个续集出来，虽然也没多少人记得第一部究竟说了什么故事。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cfacc1db9cd39f27d549b2a6_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&398& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cfacc1db9cd39f27d549b2a6_r.jpg&&&/figure&&p&跳水运动员出生的郭达森果然没忘了老本行，在本片中多处与水有关的泳池杀人、高台跳水等情节后，观众的内心却没有丝毫波澜，国内观众对斯坦森的喜爱很大程度上是因为，同为烂片王，他相较于尼古拉斯·凯奇还有颜值与肉体。&/p&&p&&br&&b&《惊天破》&/b&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2cab7ea6e4cc_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&337& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2cab7ea6e4cc_r.jpg&&&/figure&据说《惊天破》的剧本，导演吴品儒构思了10年之久，但看过电影之后，我们很想问：“这十年，吴品儒到底去干什么了？”谢霆锋与刘青云扮演的角色一个移植了杀人犯的心脏，一个移植了杀人犯的肝脏，结果移植心脏的只是变得爱吃辣了，移植肝脏的却变成了罪犯。抛开影片从头至尾尴尬的棋局叙事，剧情转折的关键居然是片中“电脑天才”仅花10秒钟做出的逼真CG特效。总结一下就会发现，这是生物科研人员、象棋爱好者与影视后期工作者们被黑的最惨的一次。&br&香港警匪片的衰落是不争的事实，但像这样全程侮辱观众智商的影片还是比较少见的，《惊天破》真是惊天破！&br&&/p&&p&&br&&b&《驴得水》&br&&/b&&br&《驴得水》可能是今年最好的国产电影。8.3分的豆瓣评分成为了2016年国产}
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CS7龙珠2.1的游戏这么许愿啊?
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收集好七颗龙珠后..然后按B召唤神龙出来....等神龙出现了...就在按B一次..然后按数字键1-8最好是许22是增加100W战斗力..
找齐7颗龙珠，放在一起，用那美克语将神龙召唤出来，神龙会让将它召唤出来的人说出他的3个愿望
收集好七颗龙珠后,召唤神龙出来,等神龙出现,神龙会让将它召唤出来的人说出他的3个愿望
“收集好七颗龙珠后,然后按B召唤神龙出来,等神龙出现了……”应该是可信的哦^_^
是的只能许一个愿望，许过后可以变塞雅人2.然后是3，和4
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一位佛罗里达州的女士用 iPhone 为她老公拍摄一张河面照片，照片中让人惊讶的是河面突然突然90度转折，小船走到了河面的尽头就要掉下去。但这并不是眼前真实的样子，也不是 AR，河面依然平静，他们也并没有掉下去，但眼前的平静河面和照片中的90度急流而下…
问这种问题的人，基本上可以肯定是个外行。C罗是不可能超越梅西的，即使C罗有更多的金球奖，更多的冠军，还是不可能，何况并没有。讨论一个人的历史地位，当然要考虑冠军，考虑个人荣誉，但对足球来说，还远远不够，虽然足球是团体运动，但个人能力依然是非常重要的指标，特别是对这种历史级别的超级巨星来说，更为重要，否则，你无法解释为什么克鲁伊夫历史地位高于贝肯鲍尔，马拉多纳贵为第二任球王。虽然现在很多球迷总是喜欢将梅西和C罗并列，但实际上两人还是不是一个水平的球员，C罗很优秀，这一点必须承认，也很努力，自律，球员的楷模，是这个时代第二好的球员，但他和梅西的差距恐怕比他和其他球员的差距还要大。这是天赋的差距，个人能力的差距，不是努力可以弥补的。足球是团队运动，化学反应好的球队可以战胜星光更璀璨的球队，但不代表个人的超越
问这种问题的人，基本上可以肯定是个外行。C罗是不可能超越梅西的，即使C罗有更多的金球奖，更多的冠军，还是不可能，何况并没有。讨论一个人的历史地位，当然要考虑冠军，考虑个人荣誉，但对足球来说，还远远不够，虽然足球是团体运动，但个人能力依然是非…
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-febb2c618fde85406cb2fbcfaded0fc5_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-febb2c618fde85406cb2fbcfaded0fc5_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&b&ck be是非常适合「新手入门」的香水，群众接受度非常高。&/b&&/p&&br&&p&淡雅而无酒精味，就算你出了一身汗，香味跟汗结合后一样令人感觉舒服。&/p&&br&&p&一百来块的价格很适合学生党。想想在未来炎热的课堂里，其他直男都散发着一股汗酸味，而你却依旧&b&散发着像是阳光大男孩的淡淡皂香。&/b& &/p&&br&&p&&b&姑娘不靠着你坐靠谁坐？&/b&&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-6fadd053fa6ba737b0505621eea877ce_b.jpg& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b157cf22a2c30e04b1ef9ef8e93d3ea_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b157cf22a2c30e04b1ef9ef8e93d3ea_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&p&同样适合小年轻的还有这款KENZO旗下的&b&风之恋&/b&。它的味道&b&「淡抹沉吟」&/b&，给予人一种干净少年郎的感觉。&/p&&br&&p&午后暖阳下的那一丝丝慵懒，流露出毫无攻击性的架势。给与姑娘无限的安全感。&/p&&br&&p&&b&能给直「狼」披上一层伪装羊皮，你不心动？可惜留香不长，伪装不够持久。&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5aeb3df3dc17bb8ecc2eab_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-5aeb3df3dc17bb8ecc2eab_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&你如果问姑娘们喜欢男生身上散发着什么味道。得到的回答往往是&b&「衣服上透出阳光晒过的味道」&/b&。&/p&&br&&p&这款香水恰恰是这样的清香。前调淡淡的茉莉香散去后，就是漫长的洗衣粉味。&/p&&br&&p&犹如晒干净的衣服，闻起来能感到格外温暖。留香比风之恋更长，价格也更便宜。&/p&&br&&p&&b&小伙子，难道不想一整个夏天都透露出吸引异性的芬芳？&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2abcc33daa75ad_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-2abcc33daa75ad_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&br&&p&一款直接入大瓶不会犯错的香水，烟草胡椒的辛辣，加微微的柑橘的清甜味，传闻中&b&「男朋友的香气」&/b&。&/p&&br&&p&这是一种微熟暖男的气息，从大男孩蜕变成男人的过度阶段。
&/p&&p&尾调很淡，暖意散去之后就是一种安心的感觉，像床上激战过后一个轻轻的吻，让人踏实又迷离。&/p&&br&&p&&b&喜欢它的姑娘那么多，就缺一个大吉岭茶的你。&/b& &/p&&br&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-700147dff65dcf0e40f522_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-700147dff65dcf0e40f522_r.jpg&&&/figure&&br&&p&一款有着夏天气息的香水。清爽的橘子汽水夹杂着湿湿的海水味。&/p&&br&&p&这时候要是迎面吹来一股微风，会让人有仿佛漫步在海滨长廊的舒爽感觉。&/p&&br&&p&艳阳、西瓜、海滩还有比基尼姑娘。没有这款海滩斩女香怎么可行？&/p&&br&&p&&b&喷上它，让你与比基尼姑娘更进一步。&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c16df5672b00bea5e2a2ea1e66a1b4ac_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c16df5672b00bea5e2a2ea1e66a1b4ac_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&&b&一款别人如果不凑近喽，便可能闻不到的香水。&/b&带有木质香气和淡草香，闻起来比较MAN。&/p&&br&&p&如果你刚和喜欢的姑娘确立关系，那么下一步的临门一脚就要靠它了！&/p&&br&&p&你就像一本书一般，而身上的这股暗香就好比书中蕴藏的惊喜桥段。&/p&&br&&p&姑娘在深入了解你的时候，这一不经意的发现会让你在她心中更加高大帅气。&/p&&br&&p&&b&用一句话形容的话就是：装逼如风，常伴吾身。&/b&&/p&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c4b606f1a3fcdd961d65c_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c4b606f1a3fcdd961d65c_r.jpg&&&/figure&&br&&p&它与前面的风之恋有些相似，但相比之多了些许成熟味。就像刚洗过澡的大男孩，&b&身上透露出伴随着雄性荷尔蒙的青春朝气。&/b&&/p&&br&&p&也有人说它像舒肤佳的味道，确实有点。
&/p&&p&&b&如果是个姑娘对你这么说。不用争辩，她开始注意你了，撩她就对了。&/b&&/p&&br&&p&&b&如果是个直男对你这么说。也不用争辩，他这是在乎你，丢块舒肤佳让他捡就对了。&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-dfb3a47f_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-dfb3a47f_r.jpg&&&/figure&&br&&p&如果形容大吉岭是微熟还略带稚气的大男孩，那么大地就是桀骜辛辣外表下成熟稳重的&b&「霸道总裁」&/b&。&/p&&br&&p&所以十分不建议年轻小伙子使用。毕竟，没像14爷我这样子的男人是驾驭不起它的。&/p&&br&&p&稳居许多排行榜第一，以及每每男香推荐总有一席地位的大地就是这样让人着迷。&/p&&br&&p&&b&一款毛没长齐就别瞎尝试的香水。&/b&&/p&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4fdaafc4b33f36c495b69cad5d79fa14_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4fdaafc4b33f36c495b69cad5d79fa14_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&p&很多人习惯把它定义为骚香。没错，蔚蓝前调给人带来的感觉就像&b&「轻熟美男」&/b&。&/p&&br&&p&嘴角微微上翘，故意露出不怀好意的微笑。有些轻浮但又让人难以拒绝。&/p&&br&&p&不过，随着前调的消失。随之而来的中调又给人带来一种沉稳温柔的味道。&b&就像电影中那些邪魅反派，让人爱恨交加&/b&。&/p&&br&&p&如果有直男说你这样太gay，找楼上桀骜古龙水那借块舒肤佳砸过去便是。
&/p&&p&&b&坏男人，要的就是那股狠劲！&/b&&/p&&br&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-4aa4e498dbfead7da79319_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-4aa4e498dbfead7da79319_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&br&&p&清新，淡淡的味道似有似无，但辨识度又很高。&/p&&br&&p&寄情水是大自然的象征，揉合优雅与自然清新，仿如一位气质典雅的男子。&/p&&br&&p&懂行的人会知道寄情属于街香，那为什么推荐入手？&/p&&br&&p&&b&答案很简单，因为很多姑娘喜欢。&/b&&/p&&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-30e6f5a68e97bebc9f2ec61d6af33306_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-30e6f5a68e97bebc9f2ec61d6af33306_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&p&刚开始闻会有所不适，但慢慢习惯后会被像是混着烟草味的茶香所吸引。&/p&&br&&p&好似一双深邃的眼睛，温柔中又带着些许哀伤。不经意间告诉别人，你是一个有故事的男人。&/p&&br&&p&&b&要是让人闻见，分分钟想请你喝酒。然后跟你从过去谈到未来，从天文地理谈到人生哲学。&/b&&/p&&br&&p&以上。&/p&&br&&br&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//weixin.qq.com/r/Mjq1rVbEsQvOrRLO928g& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&weixin.qq.com/r/Mjq1rVb&/span&&span class=&invisible&&EsQvOrRLO928g&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a& (二维码自动识别)&/p&
ck be是非常适合「新手入门」的香水，群众接受度非常高。 淡雅而无酒精味，就算你出了一身汗，香味跟汗结合后一样令人感觉舒服。 一百来块的价格很适合学生党。想想在未来炎热的课堂里，其他直男都散发着一股汗酸味，而你却依旧散发着像是阳光大男孩的淡淡…
&p&「桌面整理」想必是所有使用过现代智能手机的人都经历过甚至烦恼过的事情，如何整理手机桌面，如何才能将效率最大化，如何整理才最美观等等。&/p&&p&桌面整理其实是一个相当个人的话题，每个人都有不同的习惯，每个人都有自己的审美标准，所以对于桌面的布局想必「一千个人眼里有一千个哈姆雷特」。&/p&&p&AppSo（微信号 appsolution）在这里以 iPhone 为例：分享&b&整理出方便的桌面几个原则&/b&。&/p&&p&而 Android 党，你们有着丰富的 Launcher，看了本文之后，相信能玩得更溜。&/p&&br&&p&对于我来说，一个理想的桌面需要注意以下几点。&/p&&h2&&b&一、Dock 栏&/b&&/h2&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0c86e50ac22_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0c86e50ac22_r.jpg&&&/figure&&p&Dock 栏指的就是屏幕下方那四个不会跟随页面而变动的位置，在这个位置放置的 app 需要符合两个最：&/p&&ol&&li&&b&最常用&/b&；&/li&&li&&b&最便捷：&/b&需要用到时可以最快打开。&/li&&/ol&&p&我认为只有满足了以上两个「最」的 app 才有资格被放置被在 Dock 栏。&/p&&p&哪怕你发现最常用的是微信或者是微博，我也会建议你将其放在 Dock 上，这样可以在很大程序上减少页面滑动、寻找 app 所浪费的时间。&/p&&p&简单地想着怎样将他们隐藏起来是没有意义的，如果 app 对你的诱惑没有根除，那么无论你将它放置在了哪边，你都还是会费尽周折去找到它，只是徒增时间的浪费罢了。&/p&&p&&b&如果想真正杜绝手机的诱惑，不妨在 appsolution 后台回复「0411」获取解决方案。&/b&&/p&&br&&h2&&b&二、首屏&/b&&/h2&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-46bbe0ac486ac38cae5187_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-46bbe0ac486ac38cae5187_r.jpg&&&/figure&&p&在安顿好 Dock 栏之后，我们需要关注的是点按 home 键会回到的第一页屏幕 —— 首屏。&/p&&p&对于安放在「首屏」的 app 主要有以下几个原则：&/p&&ol&&li&放置使用频率仅次于 Dock 栏 app 的其他 app；&/li&&li&越常用越往下安放；&/li&&li&不放置文件夹。&/li&&/ol&&p&既然系统已经默认将最高的权重分配给了首屏，我们自然不能浪费资源，将经常用到但是却又次于 Dock 栏位置的 app 放在首屏，同样也是需要保证在需要用到的时候不费力气就能找到。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ac66ffbe2f499af54e238c3_b.jpg& data-rawwidth=&745& data-rawheight=&700& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&745& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ac66ffbe2f499af54e238c3_r.jpg&&&/figure&&p&图片来源：&i&How to design for thumbs in the Era of Huge Screens&/i&&/p&&p&同时，我们还要来介绍一个「热区」的概念，在我们以正常的手势握持手机的时候，一般都是使用大拇指来进行导航以及选择的操作，那么在正常的持机姿势下，使用大拇指可以轻松操控的屏幕区域就称之为「热区」。&/p&&p&&b&AppSo（微信号 appsolution）认为，在了解自己的热区之后，那么我们要尽量将常用到的 app 放在热区所能覆盖的范围内，如下三排，一触即达。&/b&&/p&&p&由于文件夹本身的逻辑，在打开任何被放置于文件夹之内的 app 在被开启之前，都需要先将文件夹的点开，这就已经违背了首屏 app 需要一触即达的目的，所以不建议将文件夹放置于首屏上。&/p&&br&&h2&&b&三、次屏&/b&&/h2&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-19080de91bacca96a9ee54_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-19080de91bacca96a9ee54_r.jpg&&&/figure&&p&在安排完了最重要的 Dock 以及首屏之后，剩余的 app 通通扔到「次屏（第二瓶）」中去。当然不是一股脑地全部扔过去，而是根据一定规则进行归类、整理放入不同的文件夹中。&/p&&p&我们通常将不同功能类别的 app 分别放入不同的文件夹，比如说「购物」、「游戏」等等。&/p&&p&在妥善安顿所有的 app 之后，下面可能还会有几个空位，我们可以选择将常用的，但是频率次于首屏的 app 放置于此处。&/p&&br&&h2&&b&四、第三屏&/b&&/h2&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3d4a861a6f73ebbec6c5d98deb31af2f_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3d4a861a6f73ebbec6c5d98deb31af2f_r.jpg&&&/figure&&p&前面说道，将所有剩余的 app 都放到次屏去，那么第三屏还有什么存在的必要吗？它的存在就是为了留有空间给新 app「实习」。&/p&&p&我们都会偶尔下载一些新鲜的 app 体验，但是绝大多数时候，它们可能在我们的手机上撑不过 1 天，为其安排位置也是浪费时间。&/p&&p&如果这个 app 在使用中被证明有必要留下，那么我们再对其进行整理也不迟，同时也不会影响我们日常使用的布局。&/p&&br&&h2&&b&小技巧&/b&&/h2&&p&那么很多人可能会想，如第二屏这般使用文件夹整理之后，甚至连自己有些时候想找一些 app 都不知道应该如何快速定位。没关系，这些的&b&小技巧&/b&解决你心中的困惑。&/p&&br&&p&&b&1. Spotlight / Siri 快速搜索&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4cf295d9d3ace964df80dbd3d026435b_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4cf295d9d3ace964df80dbd3d026435b_r.jpg&&&/figure&&p&在 iOS 桌面下滑就可以调出搜索页面，键入 app 的名称就可以出现想要寻找的 app。&b&Spotlight 对于中文输入法进行了优化，即使是处于拼音状态，结果也是会正常显示。&/b&&/p&&p&另外一个快速搜索 app 的方法就是「Siri」。&/p&&p&例如，只需对 Siri 说，「打开 AppSo」，Siri 就会自动开启，相对于 Spotlight 需要手动输入，Siri 搜索确实方便不少，只是在不方便说话的情况下还是老老实实地用 Spotlight 吧。&/p&&br&&p&&b&2. 使用 iTunes 整理&/b&&/p&&p&阻碍着绝大多数人整理桌面的原因恐怕就是 iOS 移动图标的方式实在是太过于低效、缓慢。&/p&&p&现在许多国产 Android Rom，如 MIUI、Flyme 等等都支持批量排列桌面图标的功能。对比之下，iOS 需要一个个图标拖动的整理方式实在是过于低效。&/p&&p&不过，iTunes 可以在一定程度上拯救我们。将 iPhone 连接上 PC/Mac，打开 iTunes 点击左上角小手机的图标，然后进入左边栏「应用」，就可以看到自己手机桌面的布局了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-84e9c8b8b29bacff4f3814c1fcbfce1b_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&395& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-84e9c8b8b29bacff4f3814c1fcbfce1b_r.jpg&&&/figure&&p&通过 iTunes，我们可以：&/p&&ol&&li&快速调整桌面顺序；&/li&&li&双击桌面，打开详情，用鼠标拖动 app 图标；&/li&&li&对文件夹进行同样的管理。&/li&&/ol&&p&AppSo（微信号 appsolution）认为，相对于在手机上一个个图标慢慢拖拽，在 iTunes 上处理，虽然也并不是非常方便，但是还是有效率得多。&/p&&br&&p&&b&3. Siri 建议&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-aac035d2fbb5ca629a7800bae9ada35e_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&884& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-aac035d2fbb5ca629a7800bae9ada35e_r.jpg&&&/figure&&p&这是一个默认存在于大家通知中心的小插件。点击展开，将原来只显示 4 个图标拓展成 8 个。&/p&&p&我们&b&经常使用&/b&、&b&最近安装&/b&或者 &b&iOS 智能判断&/b&我们可能会在这个时间段使用的 app 都会出现在 Siri 建议中，是打开 app 的捷径之一。&/p&&br&&p&&b&3. 文件夹 3D Touch&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-dc062bcb89fa58955ced2fb_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&884& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-dc062bcb89fa58955ced2fb_r.jpg&&&/figure&&p&3D Touch 是伴随着 6s 一代 iPhone 共同推出的功能，许多操作在 3D Touch 的加成下变得更加高效了。&/p&&p&&b&重按文件夹就可以快速查看文件夹应用的未读通知，以及数目情况。&/b&&/p&&p&这样的操作，相对于我们之前发现文件夹上存在角标，然后点开文件夹来一个个查看，甚至需要翻页的方式高效了不少。&/p&&p&我们之前将所有不常用的 app 放到了次屏上，并且按照类别放进了不同的文件夹，那么很可能会出现文件夹内部还有好几页的情况，使用 3D Touch 就能在一定程度上帮助了我们以最快的速度查看文件夹内部的情况。&/p&&blockquote&关于 3D Touch 的详细剖析，可以看 AppSo 的这个答案：&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&zhihu.com/question/3550&/span&&span class=&invisible&&3289/answer/&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/blockquote&&h2&&b&极端&/b&&/h2&&p&个别同学可能是生活较为空虚或者对于 app 的排布存在强迫症，网络上也曾经出现一些非常极端的桌面排布方式：&/p&&ol&&li&按照颜色排列；&/li&&li&按照 app 字母顺序排列。&/li&&/ol&&br&&p&&b&1. 按照颜色排列&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ee1da547ab53b351f689da_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-ee1da547ab53b351f689da_r.jpg&&&/figure&&p&图片来源网络&/p&&p&按照颜色排列其实不难理解，在花费了大量时间、精力来完成排列之后，咋一看起来确实比较美观，但是每一屏或者每一个文件夹中的 app 之间没有清晰的功能划分，寻找起来较为困难，你可能就需要大量地依靠 Spotlight。&/p&&p&除了一些非常熟悉的 app，比如说绿色的微信、橙色的淘宝等等还算是可以快速地找到，但是要是遇到了双 11 这种日子，国产 app 都开始「穿衣服」，各种花花绿绿的颜色将严重破坏和谐感。&/p&&p&所以总的来说，&b&按照颜色来整理的方式在长期看来对于效率的提升是没有任何帮助的，并且不仅前期需要耗费大量的精力，后面还需要不断维护。&/b&&/p&&br&&p&&b&2. 按照字母顺序排序&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-aba68a0efd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-aba68a0efd_r.jpg&&&/figure&&p&图片来源：SCREENSHOT FROM IPHONE KYLI SINGH&/p&&p&咋一想感觉按照 app 字母的顺序来排列还不错，但是真正想一想，这样的排列方式没有任何意义，因为 app 的名字跟他们的功能没有任何联系，所以这样的排列也只能满足强迫症，并且对于效率不会有丝毫的提升。&/p&&br&&h2&写在最后&/h2&&p&整理桌面带给我们的不仅仅是效率上的提升，同时还是「吾日三省吾身」般的自我审视。&/p&&ul&&li&我真的需要将微信放在 Dock 栏上吗？&/li&&li&我真的需要每天花这么多时间在手机上吗？&/li&&li&这个 app 有必要安装吗？&/li&&/ul&&p&经过了一轮整理之后你将更加了解自己对于手机的使用习惯，同时要是发现日常中有太多时间浪费在了手机上，那么就应该针对性地做出相应的调整，而不是将那些 app 藏起来，这样只会让你浪费更多的时间。&/p&&p&多多关注自己最近经常用到什么 app，如果频率很高，那么不要犹豫，将它放到你的首屏上来吧，这样会省下你很多的时间。&/p&&p&当然啦，选一个干净、简洁的壁纸也非常有帮助。&/p&&br&&p&&b&关注 AppSo 知乎机构号，让你的手机好用到哭。&/b&&/p&&p&作者 &a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/52cddbe7ec9586dfbcd08faf120b16a1& data-hash=&52cddbe7ec9586dfbcd08faf120b16a1& data-hovercard=&p$b$52cddbe7ec9586dfbcd08faf120b16a1&&@陈风潮&/a& ，转载请在微信公众号 AppSo 后台回复「转载」获取授权规则。&/p&
「桌面整理」想必是所有使用过现代智能手机的人都经历过甚至烦恼过的事情，如何整理手机桌面，如何才能将效率最大化，如何整理才最美观等等。桌面整理其实是一个相当个人的话题，每个人都有不同的习惯，每个人都有自己的审美标准，所以对于桌面的布局想必「…
&p&曾经在别的问题下看到这样一条回答：&/p&&p&1、当你有足够的钱，并且不想花太多心思在“怎么让手机更听话省心”上，买最新款最高配的iphone。&/p&&p&2、上一条第一句不符合的话，就买前一年的iphone。&/p&&p&3、所有鼓吹“八核（十核）处理器”“XX拍照效果”“强大安全性能”之流而不写上具体型号、感光元件的手机，都没有任何购买的必要。&/p&&p&4、千元以下，基本上，只有小米（红米）的手机是值得花钱的。&/p&&p&5、原则上，除了find和xplay系列，Oppo和Vivo没有购买的价值。&/p&&p&6、任何鼓吹自拍效果的手机，基本上没有购买的价值。&/p&&p&7、华为手机只能买旗舰（p/mate），荣耀系列也是。&/p&&p&8、如果没有一定的分辨能力，请上京东买手机，上淘宝买手机跟送钱分别不大。&/p&&p&9、小米是一家买不了吃亏买不了上当但你绝对贪不着什么便宜的厂商。&/p&&p&10、如果不是特别的爱好需求，不要买日韩厂商的手机（三星LG索尼）&/p&&p&11、同上，台湾厂商也是（华硕HTC）&/p&&p&12、这年头本质上来说手机厂商都是组装商，不存在爱国手机一说——华为的摄像头还是德味呢。&/p&&p&13、如果实在不打算买苹果，请尽量选择国产安卓手机，毕竟国产UI在易用度上实在是胜过外国友商太多。&/p&&p&14、谁推荐你windows phone你就抽出40米长的大砍刀砍死他。&/p&&p&15、推荐云os的请换80米的砍他。&/p&&p&16、不要随便听人介绍一加这好那好你就过去，这是一个实力足够但是赞誉过度的手机。&/p&&p&17、中华酷联这四家有三家是天坑，不用我说你也知道是哪三家，所以就不要往里钻了。&/p&&p&18、一个原则：大厂的手机不见得性价比多高质量多好，但比起三天两天就整幺蛾子的，他们多少还是可靠点（我没有在说锤子，真的没有）。&/p&&p&19、手机的处理器如果不表明&/p&&p&骁龙8XX（6XX），&/p&&p&Helio Xxx（xx为数字），&/p&&p&麒麟9XX（华为），&/p&&p&Exynos 8XXX（三星/魅族），&/p&&p&AXX（苹果），&/p&&p&那他多半是打算坑你。&/p&&p&20、接上一条：如果这个手机用的是Helio Xxx，那你最好做被坑的准备。毕竟这个世界上只有&/p&&p&苹果，骁龙，Exynos，麒麟&/p&&p&和&/p&&p&其他&/p&&p&这几家处理器。&/p&&p&21、索尼大法好，索尼手机坑的你哇哇乱叫。&/p&&p&22、如果你不是具备随时能充电条件的人，建议买4000mah以上电池容量的手机。&/p&&p&23、玩游戏还是屏幕越大越好，只要没有ipad mini那么大就可以了。&/p&&p&24、为了起码的生命安全，请拒绝三星。&/p&&p&然后等啰里啰嗦说完这么多，妹子一般奔着鹿晗/吴亦凡就跑到OPPO/vivo门店去了……&/p&&p&_______________________________________________________________&/p&&p&我觉得这个答案还是很有道理的，写出这样答案的人应该也是个懂手机的人。&/p&&p&我是个大学生，我包括身边很多人，很喜欢研究手机，与已经工作的人不同，我们有大量的时间可以花在研究哪个手机更好，哪个手机在什么方面更有优势。我敢自信的说，对于手机的熟悉，我们比一般人是要懂得多得多的。那我们买的是什么手机？有人买的是iphone,因为iphone用起来比较省心；有人买的是小米note,因为小米性价比高，也很流畅；有人买的vivo xplay6,因为颜值高，曲面屏，相比于三星，还便宜......&/p&&p&&b&其实越懂手机的人，越知道哪款手机更适合自己。&/b&&/p&&p&没错，iphone7是很好，可你只有1000的预算，你怎么去买它？这时候，小米、魅族就是不错的选择。这也是我贴出上面的那个答案的原因，&b&适合自己的，才是最好的。&/b&&/p&
曾经在别的问题下看到这样一条回答：1、当你有足够的钱，并且不想花太多心思在“怎么让手机更听话省心”上，买最新款最高配的iphone。2、上一条第一句不符合的话，就买前一年的iphone。3、所有鼓吹“八核（十核）处理器”“XX拍照效果”“强大安全性能”之…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/f56ced0fef5ae0_b.jpg& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/f56ced0fef5ae0_r.jpg&&&/figure&&p&（转载请注明出处，真的不费事）&/p&&p&已于更新，地址：&a href=&http://zhuanlan.zhihu.com/wille/& class=&internal&&傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于 - 与时间无关的故事 - 知乎专栏&/a&&/p&我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于是拖了两年，嗯，我是拖延症患者……&br&&p&这篇文章的核心思想就是：&/p&&h2&要让读者在不看任何数学公式的情况下理解傅里叶分析。&/h2&&p&傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。&/p&&br&&p&————以上是定场诗————&/p&&p&下面进入正题：&/p&&p&抱歉，还是要啰嗦一句：其实学习本来就不是易事，我写这篇文章的初衷也是希望大家学习起来更加轻松，充满乐趣。但是千万！千万不要把这篇文章收藏起来，或是存下地址，心里想着：以后有时间再看。这样的例子太多了，也许几年后你都没有再打开这个页面。无论如何，耐下心，读下去。这篇文章要比读课本要轻松、开心得多……&/p&&h2&一、嘛叫频域&/h2&&p&
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现&u&&b&世界是永恒不变的&/b&&/u&，你会不会觉得我疯了？我没有疯，这个静止的世界就叫做频域。&/p&&br&&p&先举一个&b&&u&公式上并非很恰当&/u&&/b&，但意义上再贴切不过的例子：&/p&&p&在你的理解中，一段音乐是什么呢？&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/a01cc4fb9fb1554f9fda82_b.jpg& data-rawwidth=&453& data-rawheight=&105& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&453& data-original=&https://pic1.zhimg.com/a01cc4fb9fb1554f9fda82_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/965a56d91f54d5cd80d3e7a807e01be6_b.jpg& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&130& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&https://pic2.zhimg.com/965a56d91f54d5cd80d3e7a807e01be6_r.jpg&&&/figure&好的！下课，同学们再见。&/p&&p&是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。&/p&&p&现在我们可以回过头来重新看看一开始那句痴人说梦般的话：世界是永恒的。&/p&&p&将以上两图简化：&/p&&p&时域：&br&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/7ec3709ecdb70c512ac19aa_b.jpg& data-rawwidth=&200& data-rawheight=&110& class=&content_image& width=&200&&&/figure&频域：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/1ca366b593d877a16c8ab9_b.jpg& data-rawwidth=&137& data-rawheight=&199& class=&content_image& width=&137&&&/figure&&p&在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。&/p&&p&所（前方高能！~~~~~~~~~~~非战斗人员退散~~~~~~~）&/p&&p&以（~~~~~~~~~~~~~~~前方高能预警~~~~~~~~~~~~~~前方高能~~~~~~~~）&/p&&h2&你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。&/h2&&p&（众人：鸡汤滚出知乎！）&/p&&p&抱歉，这不是一句鸡汤文，而是黑板上确凿的公式：傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。&/p&&p&而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)，我们从简单的开始谈起。&/p&&br&&h2&二、傅里叶级数(Fourier Series)&/h2&&p&还是举个栗子并且有图有真相才好理解。&/p&&p&如果我说我能用前面说的正弦曲线波叠加出一个带90度角的矩形波来，你会相信吗？你不会，就像当年的我一样。但是看看下图：&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/7a83f7d06bee1d4b7f0c19b7addf8cb0_b.jpg& data-rawwidth=&684& data-rawheight=&527& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&684& data-original=&https://pic4.zhimg.com/7a83f7d06bee1d4b7f0c19b7addf8cb0_r.jpg&&&/figure&&/p&&p&第一幅图是一个郁闷的正弦波cos（x）&/p&&p&第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加cos(x)+a.cos(3x)&/p&&p&第三幅图是4个发春的正弦波的叠加&/p&&p&第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加&/p&&p&随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？&/p&&p&（只要努力，弯的都能掰直！）&/p&&p&随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。&b&一个矩形就这么叠加而成了。&/b&但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。（上帝：我能让你们猜着我？）&/p&&p&不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。&/p&&br&&p&还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/563deb4aba_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1289& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/563deb4aba_r.jpg&&&/figure&在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。&/p&&p&这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。&/p&&p&&b&好了，关键的地方来了！！&/b&&/p&&p&如果我们把第一个频率最低的频率分量看作“1”，我们就有了构建频域的最基本单元。&/p&&p&对于我们最常见的有理数轴，数字“1”就是有理数轴的基本单元。&/p&&p&（好吧，数学称法为——&b&基。&/b&在那个年代，这个字还没有其他奇怪的解释，后面还有&b&正交基&/b&这样的词汇我会说吗?）&/p&&p&时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&的正弦波cos（&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&t）看作基础，那么频域的基本单元就是&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+& alt=&\omega_{0} & eeimg=&1&&。&/p&&p&有了“1”，还要有“0”才能构成世界，那么频域的“0”是什么呢？cos（0t）就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域，0频率也被称为直流分量，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状。&/p&&p&接下来，让我们回到初中，回忆一下已经死去的八戒，啊不，已经死去的老师是怎么定义正弦波的吧。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/81cac162c2d76df75a6690a_b.jpg& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&201& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&https://pic3.zhimg.com/81cac162c2d76df75a6690a_r.jpg&&&/figure&&p&正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/e15e1db741930_b.jpg& data-rawwidth=&256& data-rawheight=&256& class=&content_image& width=&256&&&/figure&&/p&&p&知乎不能传动态图真是太让人惋惜了……&/p&&p&想看动图的同学请戳这里：&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_square_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series square wave circles animation.gif&/a&&/p&&p&以及这里：&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series sawtooth wave circles animation.gif&/a&&/p&&p&点出去的朋友不要被wiki拐跑了，wiki写的哪有这里的文章这么没节操是不是。&/p&&p&介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&567& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/e2e3c0af3bdbcba721cda9e_r.jpg&&&/figure&&br&这是什么奇怪的东西？&/p&&p&这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/afec7b657e8c609bdafff0c9_b.jpg& data-rawwidth=&702& data-rawheight=&317& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&702& data-original=&https://pic4.zhimg.com/afec7b657e8c609bdafff0c9_r.jpg&&&/figure&&p&再清楚一点：&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/40cf849e55edd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&481& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/40cf849e55edd_r.jpg&&&/figure&&br&&/p&&p&可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。&/p&&br&&p&动图请戳：&/p&&p&&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//en.wikipedia.org/wiki/File%3AFourier_series_and_transform.gif& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&File:Fourier series and transform.gif&/a&&/p&&p&老实说，在我学傅里叶变换时，维基的这个图还没有出现，那时我就想到了这种表达方法，而且，后面还会加入维基没有表示出来的另一个谱——相位谱。&/p&&p&但是在讲相位谱之前，我们先回顾一下刚刚的这个例子究竟意味着什么。记得前面说过的那句“世界是静止的”吗？估计好多人对这句话都已经吐槽半天了。想象一下，世界上每一个看似混乱的表象，实际都是一条时间轴上不规则的曲线，但实际这些曲线都是由这些无穷无尽的正弦波组成。我们看似不规律的事情反而是规律的正弦波在时域上的投影，而正弦波又是一个旋转的圆在直线上的投影。那么你的脑海中会产生一个什么画面呢？&/p&&br&&p&我们眼中的世界就像皮影戏的大幕布，幕布的后面有无数的齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮再带动更小的。在最外面的小齿轮上有一个小人——那就是我们自己。我们只看到这个小人毫无规律的在幕布前表演，却无法预测他下一步会去哪。而幕布后面的齿轮却永远一直那样不停的旋转，永不停歇。这样说来有些宿命论的感觉。说实话，这种对人生的描绘是我一个朋友在我们都是高中生的时候感叹的，当时想想似懂非懂，直到有一天我学到了傅里叶级数……&/p&&br&&p&抱歉，还是没写完。但是我想坚持看到这里的人已经很不容易了。我们都休息一下，下一讲再继续……&/p&
（转载请注明出处，真的不费事）已于更新，地址：我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同，这是12年还在果壳的时候写的，但是当时没有来得及写完就出国了……于…
&p&结合自己的理解写点。&/p&&p&这个帖子分三个部分，第一部分为怎么从傅里叶级数推导出傅里叶变换，第二部分为两者的联系 ~~第三个为通过傅里叶级数求取傅里叶变换的例子。&/p&&p&不好意思我update了，后面还加了一些内容。&/p&&p&[19/04/2017] 看到大家继续点赞，那我再加点有关傅立叶级数的理解吧，本应当放到第一节，但是因为公式都编号了，不想改了。&/p&&ul&&li&&b&正交函数基的概念&/b&&/li&&li&&b&傅立叶级数和正交多项式级数&/b&&/li&&li&&b&正交多项式和泰勒级数展开&/b&&/li&&li&&b&正交概念、级数展开在工程中的应用&/b&&/li&&li&&b&【19/04/2017】傅立叶级数的直观理解&/b&&/li&&/ul&&p&++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++&br&&u&傅里叶变换的由来&/u&&/p&&p&傅里叶级数适用于周期信号中，下面给出其表达式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7Ba_%7Bk%7De%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7D+t%7D+%7D+& alt=&\tilde{x}(t) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }{a_{k}e^{jk\omega _{0} t} } & eeimg=&1&&
&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-T%2F2%7D%5E%7BT%2F2%7D%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt+& alt=&a_{k} =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\tilde{x}(t)e^{-jk\omega_{0}t }dt & eeimg=&1&& (2)
&/p&&p&周期的意义在于限定傅里叶系数的积分公式 (如(2)所示) 的积分上下限，把公式(1)代入到(2)中可以发现，(2)式子左右恒等，其中利用到了e指数的正交性。&/p&&p&那如果是非周期信号呢？公式(1)中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+_%7B0%7D+& alt=&\omega _{0} & eeimg=&1&&都已经不存在了（或者说是无穷小），此时时域信号便不可能写成如式子(1)级数的形式。但数学家们不甘心啊，如果把傅里叶只限定在周期信号，世界得多无趣啊。好，那就试着能不能重新定义非周期信号的傅里叶变换呢？数学家们思索着，这两种信号的区别在于一个是有固定的基频，另外一个基频无穷小。哎，等等？好像灵感来了，无限小的求和概念不就对应着积分嘛！那我们就尝试这能不能从这个角度来推导出非周期信号的傅里叶变换呢，好的，那我们试试吧。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-941d27ca6b5a3eebd58b299eaecc4f12_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&313& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-941d27ca6b5a3eebd58b299eaecc4f12_r.jpg&&&/figure&&p&考虑上述两个信号，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+& alt=&\tilde{x}(t) & eeimg=&1&&对应为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29& alt=&x(t)& eeimg=&1&&的周期延展。对于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%7C+t%5Cright%7C+%5Cleq+T%2F2& alt=&\left| t\right| \leq T/2& eeimg=&1&&, 有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+x%28t%29%3D%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+& alt=& x(t)=\tilde{x}(t) & eeimg=&1&&。对于周期信号&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+& alt=&\tilde{x}(t) & eeimg=&1&&，对应的傅里叶系数为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-T%2F2%7D%5E%7BT%2F2%7D%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-T%2F2%7D%5E%7BT%2F2%7Dx%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7Dx%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt& alt=&a_{k} =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\tilde{x}(t)e^{-jk\omega_{0}t }dt =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-jk\omega_{0}t }dt =\frac{1}{T} \int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-jk\omega_{0}t }dt& eeimg=&1&&
(3) &/p&&p&现在定义&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29& alt=&X(j\omega )& eeimg=&1&&为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=Ta_%7Bk%7D& alt=&Ta_{k}& eeimg=&1&&的包络，其中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5Comega+_%7B0%7D& alt=&k\omega _{0}& eeimg=&1&&用&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&来代替，&u&注意，此处的定义只是一个notation的变化，没有改变方程任何的东西&/u&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29%3D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7Dx%28t%29e%5E%7B-j%5Comega+t+%7Ddt& alt=&X(j\omega )= \int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t }dt& eeimg=&1&&
(4)&/p&&p&显然，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D& alt=&a_{k}& eeimg=&1&&只是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29& alt=&X(j\omega )& eeimg=&1&&的等间隔采样&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7DX%28jk%5Comega+_%7B0%7D%29& alt=&a_{k}=\frac{1}{T}X(jk\omega _{0})& eeimg=&1&&
(5)&/p&&p&注意，把傅里叶系数表示为包络的采样，应该算是数学家的直觉尝试，或者说是他们常用的技巧吧，因为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5Comega+_%7B0%7D& alt=&k\omega _{0}& eeimg=&1&&取极限&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+%5Crightarrow+0& alt=&\omega_{0} \rightarrow 0& eeimg=&1&&有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5Comega+_%7B0%7D%3D%5Comega+& alt=&k\omega _{0}=\omega & eeimg=&1&&, 方便后面进一步把级数转变成积分形式。其中没有把T集成&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29& alt=&X(j\omega )& eeimg=&1&&中，应该算是大家的约定吧，没办法，只能按照那些大牛的爱好了~ 好，那现在我们把公式(5)代入公式(1)中&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7DX%28jk%5Comega+_%7B0%7D%29e%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7D+t%7D+%7D+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7DX%28jk%5Comega+_%7B0%7D%29e%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7D+t%7D+%7D%5Comega+_%7B0%7D& alt=&\tilde{x}(t) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }{\frac{1}{T}X(jk\omega _{0})e^{jk\omega _{0} t} } =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }{\frac{1}{2\pi}X(jk\omega _{0})e^{jk\omega _{0} t} }\omega _{0}& eeimg=&1&& (6)&/p&&p&(6)式中只含有&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega+_%7B0%7D& alt=&\omega _{0}& eeimg=&1&&和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=k%5Comega+_%7B0%7D& alt=&k\omega _{0}& eeimg=&1&&， 此刻，数学家们开始笑了，万事具备，东风亦来，吼吼吼。 令公式(6)中的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Comega_%7B0%7D+%5Crightarrow+0& alt=&\omega_{0} \rightarrow 0& eeimg=&1&&, 也即&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%5Crightarrow+%2B%5Cinfty+& alt=&T\rightarrow +\infty & eeimg=&1&&,
此时&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29%5Crightarrow+%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+& alt=&x(t)\rightarrow \tilde{x}(t) & eeimg=&1&&,
哇~好熟悉的感觉，瞬间少女变大嫂~~ 公式(6)为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29+%3D+%5Clim_%7BT+%5Crightarrow+%2B%5Cinfty+%7D%7B%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%7D%3D+%5Clim_%7B%5Comega_%7B0%7D+%5Crightarrow+0%7D%7B%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D+X%28j%5Comega+%29e%5E%7Bj%5Comega+t%7D+d%5Comega+& alt=&x(t) = \lim_{T \rightarrow +\infty }{\tilde{x}(t) }= \lim_{\omega_{0} \rightarrow 0}{\tilde{x}(t) } =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty } X(j\omega )e^{j\omega t} d\omega & eeimg=&1&& (7)&/p&&p&其中&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29& alt=&X(j\omega )& eeimg=&1&&如公式(4)所定义~傅里叶级数的包络奥~在这里重新写下把&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29%3D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7Dx%28t%29e%5E%7B-j%5Comega+t+%7Ddt& alt=&X(j\omega )= \int_{-\infty }^{+\infty }x(t)e^{-j\omega t }dt& eeimg=&1&& (8)&/p&&p&到了这里，数学家们才舒了一口气~~哈哈哈，攻城狮大笑，现在可以尽情灌水了~~~&/p&&p&&br&&/p&&p&=======================================================&/p&&p&&u&&b&傅里叶级数和傅里叶变换的关系&/b&&/u&&/p&&p&&br&&/p&&p&很多人说傅里叶技术用于周期信号，傅里叶变换用于非周期信号。那问题来了，周期信号的傅里叶变换是什么？并且和傅里叶级数的系数有什么关系？&/p&&p&为了解开这个谜团，我们先来热热身~来点预备知识。首先，周期信号可以由傅里叶级数表示，即e指数的求和形式，想到这一点，攻城狮开始猥琐的笑了起来，仿佛透视了对面的可爱妹子~~么么哒。。。周期信号的傅里叶变换的关键不就在于e指数的傅里叶变换嘛~~&/p&&p&直接给出e指数的傅里叶变换~&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7Dt%7D%5Crightarrow+2%5Cpi+%5Cdelta+%28%5Comega+-k%5Comega+_%7B0%7D%29& alt=&e^{jk\omega _{0}t}\rightarrow 2\pi \delta (\omega -k\omega _{0})& eeimg=&1&&
(9)&/p&&p&可以验证下~ 把(9)代入到 (7)式中&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Cpi%7D+%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D+2%5Cpi+%5Cdelta+%28%5Comega+-+k%5Comega_%7B0%7D%29e%5E%7Bj%5Comega+t%7D+d%5Comega+%3De%5E%7Bjk%5Comega_%7B0%7Dt%7D& alt=&x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{+\infty } 2\pi \delta (\omega - k\omega_{0})e^{j\omega t} d\omega =e^{jk\omega_{0}t}& eeimg=&1&& (10)
&br&而对于周期信号可以表示为傅里叶级数&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctilde%7Bx%7D%28t%29+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7Ba_%7Bk%7De%5E%7Bjk%5Comega+_%7B0%7D+t%7D+%7D+& alt=&\tilde{x}(t) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }{a_{k}e^{jk\omega _{0} t} } & eeimg=&1&&
(11)&/p&&p&对周期信号进行傅里叶变换，即对公式(11)的e指数进行傅里叶变换~，借助公式(9)，可以得到&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B2%5Cpi+a_%7Bk%7D%7D+%5Cdelta+%28%5Comega+-k%5Comega+_%7B0%7D%29& alt=&X(j\omega ) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty }{2\pi a_{k}} \delta (\omega -k\omega _{0})& eeimg=&1&&
(12)&/p&&p&可以看出，周期信号的傅里叶变换并不连续，并且都可以表示为一系列的脉冲叠加，其中脉冲前面的系数为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi+a_%7Bk%7D& alt=&2\pi a_{k}& eeimg=&1&&, 即为 傅里叶系数的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi+& alt=&2\pi & eeimg=&1&&倍。&/p&&p&&br&&/p&&p&=======================================================&/p&&p&&u&&b&通过傅里叶级数求取傅里叶变换的例子&/b&&/u&&/p&&p&最经典的例子莫过于脉冲采样理论了&/p&&p&对于采样系统中，我们一般采用脉冲去对信号进行采样，脉冲信号可以表示为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%28t%29+%3D%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%5Cdelta+%28t-kT%29& alt=&x(t) =\sum_{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT)& eeimg=&1&&(13)&/p&&p&因为这是典型的周期信号，对应的傅里叶级数的系数为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bk%7D+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+%5Cint_%7B-T%2F2%7D%5E%7BT%2F2%7D%5Cdelta+%28t%29e%5E%7B-jk%5Comega_%7B0%7Dt+%7Ddt+%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BT%7D+& alt=&a_{k} =\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-jk\omega_{0}t }dt =\frac{1}{T} & eeimg=&1&&
(14)&/p&&p&根据公式(12)其傅里叶变换为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X%28j%5Comega+%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B2%5Cpi+a_%7Bk%7D%7D+%5Cdelta+%28%5Comega+-k%5Comega+_%7B0%7D%29%3DX%28j%5Comega+%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac%7B2%5Cpi+%7D%7BT%7D+%7D+%5Cdelta+%28%5Comega+-k%5Comega+_%7B0%7D%29& alt=&X(j\omega ) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty }{2\pi a_{k}} \delta (\omega -k\omega _{0})=X(j\omega ) = \sum_{k=-\infty }^{+\infty }{\frac{2\pi }{T} } \delta (\omega -k\omega _{0})& eeimg=&1&&
(15)&/p&&p&借助周期信号傅里叶系数和傅里叶变换的关系，可以很快求出周期信号的傅立叶变换。&/p&&p&&br&&/p&&p&==============================================&/p&&p&Update 一下有关正交展开吧。&/p&&p&&b&Part 1: 正交函数基的概念&/b&&/p&&p&正交概念一般是定义在闭区间上的，假设这个闭区间为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&& , 那么对于两个函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&&
和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=h%28x%29& alt=&h(x)& eeimg=&1&& 的正交，说的是其内积为零，如下面公式所示 &/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3Cg%2Ch%3E+%3D+%5Cint_a%5Ebg%28x%29h%28x%29dx+%3D0& alt=&&g,h& = \int_a^bg(x)h(x)dx =0& eeimg=&1&&
(16)&/p&&p&假设函数列&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Be_k%28x%29%7D%2C+%5C+k+%3D0%2C1%2C2%2C%5Ccdots& alt=&{e_k(x)}, \ k =0,1,2,\cdots& eeimg=&1&& 是一组函数基,并满足&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3Ce_m%2C%5C+e_n%3E+%3D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+e_m+%28x%29%5Ccdot+e_n+%28x%29+dx+%3D%5Cdelta_%7Bmn%7D+%3D+%5Cleft%5C%7B+%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D+1+%26+m%3Dn+%5C%5C+0+%26+m+%5Cneq+n+%5C%5C+%5Cend%7Barray%7D+%5Cright.+& alt=&&e_m,\ e_n& = \int_{a}^{b} e_m (x)\cdot e_n (x) dx =\delta_{mn} = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & m=n \\ 0 & m \neq n \\ \end{array} \right. & eeimg=&1&&
(17)&/p&&p&根据魏尔斯特拉斯逼近定理：&/p&&ul&&li&闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近；&/li&&li&闭区间上周期为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=2%5Cpi+& alt=&2\pi & eeimg=&1&& 的连续函数可用三角函数级数一致逼近.（其实可以用更加紧凑的方式表述:三角级数和多项式级数在C[a,b]中稠密）&/li&&/ul&&p&可以知道闭区间上&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&&上的连续函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 可以用正交函数列&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e_k%28x%29& alt=&e_k(x)& eeimg=&1&&(多项式和三角级数) 来一致逼近&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29+%3D+%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5E%7Bn%7Da_ke_k%28x%29& alt=&f(x) = \sum_{k=0}^{n}a_ke_k(x)& eeimg=&1&&
(18)&/p&&p&根据最优理论,我们考虑其平方误差积分最小&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmin_%7B%5C%7B%5Calpha_k%5C%7D%7DE+%3D+%5Cmin_%7B%5C%7B%5Calpha_k%5C%7D%7D%5Cint_a%5Eb+%5Cleft%28f%28x%29-%5Csum_%7Bk%3D0%7D%5En+%5Calpha_k+e_k%28x%29%5Cright%29%5E2dx& alt=&\min_{\{\alpha_k\}}E = \min_{\{\alpha_k\}}\int_a^b \left(f(x)-\sum_{k=0}^n \alpha_k e_k(x)\right)^2dx& eeimg=&1&&
(19)&/p&&p&根据多维函数求极极值理论，上述式子(19)对&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha_k& alt=&\alpha_k& eeimg=&1&& 的导数等于零&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpartial+E%7D%7B%5Cpartial+%5Calpha_k%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+%5Calpha_k%7D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+%5Cleft%28+f%28x%29+-+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En+%5Calpha_i+e_i%28x%29+%5Cright%29%5E2dx+%3D0& alt=&\frac{\partial E}{\partial \alpha_k} = \frac{\partial }{\partial \alpha_k} \int_{a}^{b} \left( f(x) - \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i(x) \right)^2dx =0& eeimg=&1&&
(20)&/p&&p&根据勒贝格测度的控制积分理论，对于闭区间上的连续函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=E%28x%2C%5Calpha_k%29& alt=&E(x,\alpha_k)& eeimg=&1&& ，如式子(20),其微分和积分符号可以交换顺序，&b&&i&详细参考我的实变函数Notes ，控制收敛定理84-85页。&/i&&/b&&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//pan.baidu.com/s/1kVJSHWN& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&pan.baidu.com/s/1kVJSHW&/span&&span class=&invisible&&N&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&于是有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+%5Cfrac%7B%5Cpartial+E%7D%7B%5Cpartial+%5Calpha_k%7D+%3D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial+%7D%7B%5Cpartial+%5Calpha_k%7D%5Cleft%28+f%28x%29+-+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En+%5Calpha_i+e_i%28x%29+%5Cright%29%5E2dx+%3D0& alt=& \frac{\partial E}{\partial \alpha_k} = \int_{a}^{b} \frac{\partial }{\partial \alpha_k}\left( f(x) - \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i(x) \right)^2dx =0& eeimg=&1&& (21)&/p&&p&进一步有&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+%5Cleft%28+f%28x%29+-+%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En+%5Calpha_i+e_i%28x%29+%5Cright%29%5Ccdot+e_k%28x%29dx+%3D0& alt=&\int_{a}^{b} \left( f(x) - \sum_{i=1}^n \alpha_i e_i(x) \right)\cdot e_k(x)dx =0& eeimg=&1&& (22)&/p&&p&根据我们的正交假设(17)显然有如下结论&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Calpha_k+%3D+%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+f%28x%29+e_k%28x%29dx+%2C%5Cquad+k%3D1%2C2%2C3%2C%5Ccdots& alt=&\alpha_k = \int_{a}^{b} f(x) e_k(x)dx ,\quad k=1,2,3,\cdots& eeimg=&1&& (23)&/p&&p&&b&魏尔斯特拉斯定理的意义&/b&&/p&&p&显然我们可以用上述正交基对任意的连续函数函数去逼近，也总归会得到一个最优逼近下的一组系数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Calpha_k%5C%7D& alt=&\{\alpha_k\}& eeimg=&1&& ,但是这个最优逼近是否能够无限逼近原函数？魏尔斯特拉斯定理的意义就在保证了多项式和三角级数可以一致逼近闭区间上的连续函数，也就是说当正交级数的项达到一定的数目时，在整个闭区间上无限逼近原函数了，严格来讲，就是闭区间上最大的逼近误差可以控制到任意小。&/p&&p&简而言之，闭区间上的连续函数可以等效为无数正交函数基（如傅立叶）的线性叠加，这样的好处就在于不同函数之间的区别现在量化成了不同的正交系数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5C%7B%5Calpha_k%5C%7D& alt=&\{\alpha_k\}& eeimg=&1&&的区别，这种正交变换的好处是，打个比方，函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 类比成李雷家的猪，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 类比为韩梅梅家的小麦，现在李雷想吃面粉，韩梅梅想吃肉，于是要想要交换下。但是他们并不知道这只猪该换几斤麦子啊，那好，现在有一个专门的机构，能够把不同物品使用统一种货币（正交基）来量化，于是下次见面直接说李雷的猪多少钱（&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的傅立叶系数），韩梅梅家的麦子多少钱(&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&&的傅立叶系数 )，这样大家就能够快速的有一个量化的比较了。&/p&&p&============================================&/p&&p&&b&Part 2: 傅立叶级数和正交多项式级数&/b&&/p&&p&让这个正交函数基为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=e%5E%7Bjk+x%7D& alt=&e^{jk x}& eeimg=&1&& ,抑或(&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%2C+%5Csin+x%2C+%5Ccos+x%2C+%5Csin+2x%2C+%5Ccos+2x%2C%5Ccdots& alt=&1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x,\cdots& eeimg=&1&& )，这就在理论上得到了&b&傅立叶级数&/b&。&/p&&p&我们也可以探索把多项式作为我们的基&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%2Cx%2Cx%5E2%2Cx%5E3%2C%5Ccdots& alt=&1,x,x^2,x^3,\cdots& eeimg=&1&& ,但是这组基并不是正交的，不过没关系，我们可以用格拉姆-施密特方法正交化，然后就得到了正交的多项式基，也就是&b&勒让德多项式&/b&，如下图。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-07fcd2134edd4abe3921c98_b.jpg& data-rawwidth=&675& data-rawheight=&424& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&675& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-07fcd2134edd4abe3921c98_r.jpg&&&/figure&&p&==============================================&/p&&p&&b&Part 3: 正交多项式和泰勒级数展开&/b&&/p&&p&既然讲到了正交多项式，那么不妨多说两句。大家注意到公式(19),在闭区间上使用有限项的基来逼近一个函数，这是全局的逼近，我们思考和泰勒展开有什么不同，泰勒展开只是在某个点附近逼近，当展开的级数越多，那么函数逼近的范围就越广。大家也许会注意到对于正交级数在闭区间上展开的系数使用积分来求取的，而泰勒展开的系数确是通过微分操作求取。&/p&&p&简而言之，正交级数（如勒让德级数）是全局的逼近，而泰勒展开是局域的。从上图可以看出，对于正交勒让德级数，从&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 到&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%2B1& alt=&n+1& eeimg=&1&& 维，需要全部计算前面所有的系数，所以随着&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 的增加，正交级数也越来越复杂（这句话的理解是把勒让德级数整理成泰勒级数的样子，那么会发现，每增加一个维度，所有多项式前面的系数都会变化，意味着这些系数重新算过了）。但是对于泰勒级数，每增加一个维度，只需要计算增加的那个维度的导数即可，前面基的系数都不用变。&/p&&p&==============================================&/p&&p&&b&Part 4: 向量正交&/b&&/p&&p&我们回顾下公式(16)&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%3Cf%2Cg%3E%3D%5Cint_a%5Eb+f%28x%29g%28x%29dx& alt=&&f,g&=\int_a^b f(x)g(x)dx& eeimg=&1&&&/p&&p&如果我们把区间&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Ba%2Cb%5D& alt=&[a,b]& eeimg=&1&& 离散化, 在里面采样&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m& alt=&m& eeimg=&1&& 个点，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%2Cg%28x%29& alt=&f(x),g(x)& eeimg=&1&& 就相应变成了&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=m%5Ctimes+1& alt=&m\times 1& eeimg=&1&& 维度的向量了，积分也就成了离散和，也就是内积了，（16）可以变为&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bm%7D+f%28x_i%29%5Ccdot+g%28x_i%29+%3D+%3C%5Chat%7Bf%7D%2C%5Chat%7Bg%7D%3E& alt=&\sum_{i=1}^{m} f(x_i)\cdot g(x_i) = &\hat{f},\hat{g}&& eeimg=&1&& （24）&/p&&p&那么正交的含义也就顺理成章地成了&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bm%7D+f%28x_i%29%5Ccdot+g%28x_i%29+%3D+%3C%5Chat%7Bf%7D%2C%5Chat%7Bg%7D%3E%3D0& alt=&\sum_{i=1}^{m} f(x_i)\cdot g(x_i) = &\hat{f},\hat{g}&=0& eeimg=&1&&
(25)&/p&&p&所以，函数正交定义的形式和向量正交其实是内恰的，对于线性代数中的向量之间的投影同样可以类比到函数空间中，线性代数中的格拉姆-施密特正交化方法也就可以同样适用于函数基的正交化。把上述正交函数的概念类比到离散的代数空间，我们就从傅立叶级数顺理成章推广到了离散傅立叶变换DFT。&/p&&p&可以参考一个帖子&/p&&p&&a href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& class=&internal&&如何通俗地解释什么是离散傅里叶变换？ - psyduck 的回答 - 知乎&/a&&/p&&p&&b&Part 4: 正交概念、级数展开在工程中的应用&/b&&/p&&p&我只说我接触过的&/p&&ul&&li&对于通信的CDMA编码，Spread code是一系列的正交码，每个人分配一个这样的spread code作为身份的验证, 且这些码相互之间正交，所以我们接受到基站传回来的信息时，通过内积方式可以唯一解出属于自己的那部分信息，而不用担心别人的信息对自己信息的串扰。&/li&&li&对于通信的OFDM，本质上是把高速率的信息流拆分成若干的低速率信息流，然后通过载波聚合的方式正交地加载在同一个载波上，接收端通过积分就可以恢复这些信息，然后把多个低速率的信息流恢复为告诉串行的高速数据流。不同的通信编码方式，其共同点就是正交。&/li&&li&在电路理论中，泰勒级数和傅立叶级数也用的非常多，这俩好基友是非线性电路分析的不二法宝。很多非线性电路如功率放大器，整流电路的效率，输出功率的计算，无不利用到了这些级数。还有一些微波半导体器或者系统件行为建模方法，也是用到了这些技术。更加复杂的就是从一维变量的拓展到高维了。&/li&&/ul&
结合自己的理解写点。这个帖子分三个部分，第一部分为怎么从傅里叶级数推导出傅里叶变换，第二部分为两者的联系 ~~第三个为通过傅里叶级数求取傅里叶变换的例子。不好意思我update了，后面还加了一些内容。[19/04/2017] 看到大家继续点赞，那我再加点有关傅…
&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2df6ba3bcc4a75cde089b39_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&337& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2df6ba3bcc4a75cde089b39_r.jpg&&&/figure&&p&&b&2016院线电影盘点前三期回顾&/b&&/p&&blockquote&&p&第一季春：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=yingquanshijie& class=&internal&&知乎专栏&/a&&/p&&p&第二季夏：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=yingquanshijie& class=&internal&&知乎专栏&/a&&/p&&p&第三集秋：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?refer=yingquanshijie& class=&internal&&知乎专栏&/a&&/p&&/blockquote&&br&&p&早在2014年的时候，我们就探讨过中国电影市场表面繁荣下的危机，在各种保护和优惠措施下，中国电影市场就像《甄嬛传》里服食金丹的皇上，看上去红光满面，底子却越来越空。该来的总会来，2016年的电影市场，终于在埋头猛进中触礁。&br&&/p&&p&&b&请接下来观看《影视圈》杂志联合，龙斌大话电影特别节目，你好！2017（冬）&/b&&br&&/p&&br&&br&&p&&b&正片观看地址：&a class=&video-box& href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//v.qq.com/x/page/e0372hccd97.html& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&& data-name=&你好，2017（冬） - 腾讯视频& data-poster=&//shp.qpic.cn/qqvideo_ori/0/e0372hccd97_228_128/0& data-lens-id=&&&
&img class=&thumbnail& src=&//shp.qpic.cn/qqvideo_ori/0/e0372hccd97_228_128/0&&&span class=&content&&
&span class=&title&&你好，2017（冬） - 腾讯视频&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://v.qq.com/x/page/e0372hccd97.html&/span&
&/b&&/p&&br&&br&&p&&i&&u&本期节目长达一个小时，流量需谨慎&/u&&/i&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-3fb2e84d2c2efe0a06c3_b.jpg& data-rawwidth=&1440& data-rawheight=&793& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1440& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-3fb2e84d2c2efe0a06c3_r.jpg&&&/figure&&br&&p&&b&冬季篇文案&/b&（视频中文案略有改动）&b&：&/b&&br&&br&&br&早在2014年的时候，我们就探讨过中国电影市场表面繁荣下的危机，在各种保护和优惠措施下，中国电影市场就像《甄嬛传》里服食金丹的皇上，看上去红光满面，底子却越来越空。该来的总会来，2016年的电影市场，终于在埋头猛进中触礁。&/p&&p&&br&本来，我们可以抱着五十步笑一百步心态，从同样疲软的国外电影市场中找到些许安慰，但是一个好莱坞的颁奖典礼，就提振了欧美院线的士气，回头看看我们的百花和金鸡，不但没有提振士气，反而让已经很乱的“贵圈”，变成了一个笑话。我们说，票房增速放缓不见得是坏事，它一方面可以限制电影人和投资方无节制的媚俗，另一方面印证着观众观影水平的提升。然而，这放缓背后的原因，或许没有我们想象的那么简单。&br&&br&真正值得庆幸的是，在以国庆档为开端的第四季度，国产电影中出现了不止一匹的黑马，即便没有了国产电影保护月，这些影片在与进口大片的厮杀中仍旧不落下风，甚至有绝地逆袭的势头。&br&&br&&br&&/p&&h2&&b&10月&/b&&/h2&&br&10月份约有37部中外电影上映，全国票房总收入34.17亿，比去年同期下滑了18.88％。这个看似不给力的成绩，却非常的值得鼓励，因为在这超过34亿的票房中，有77%是由没有保护伞的国产片贡献的。&br&&br&&br&&b&《王牌逗王牌》&/b&&p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5dcf4a14eae19c2129670ad_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&257& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-5dcf4a14eae19c2129670ad_r.jpg&&&/figure&《王牌逗王牌》在国庆档的厮杀中获得了2.6亿的票房，对于王晶的批判我们早在《澳门风云3》已经说过了，没必要复述。只是如今的他进化了，一年可以恶心我们两次，同时，从他未来的排片计划我们可以大胆推断，王晶正在向一年三次的新方向努力。对于这种影片我们能做的，只是奉劝大家珍爱生命远离烂片。但如果您说“我看电影只是图个乐，管它好评差评”，相信我，从电影院出来后您不仅乐不出，还会怀疑人生。&/p&&p&&br&&br&&b&《圆梦巨人》&/b&&br&&br&仰仗斯皮尔伯格的大名，《圆梦巨人》作为一部广义上的儿童电影获得了迪士尼1.4亿美元的投资。影片最终效果如我们所见，并没有辜负这超高的预算，奥斯卡最佳男配角马克·里朗斯的形象，通过先进的面部捕捉技术与巨人完美地融为一体，对独创世界观中各处场景的设计，也可谓是匠心独具。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-8daefc505d701d9ec4f05bbc_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&251& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-8daefc505d701d9ec4f05bbc_r.jpg&&&/figure&但不得不说，本片骨子里还是一部斯皮尔伯格的作品，它没有继承迪士尼的全年龄皆可寻得乐趣的风格。空有鸡汤缺乏高潮的剧情，让不少观众在影院中沉睡，这也是本片在国内的口碑呈现两极化的主要原因。斯皮尔伯格并没有失败，完成《圆梦巨人》其实是他在圆自己的一个童心梦，只是错误的商业运作让本片有点吃力不讨好，我们还是有理由期待大师下一部纯粹的商业大作。&/p&&p&&br&&br&&b&《侠探杰克：永不回头》&/b&&br&&br&2013年《侠探杰克》上映时，我们以为它会打着阿汤哥的旗号捞一笔就跑，没想到时隔三年居然还整出了个续集。平心而论，本片的质量还算及格，只是官方对杰克这个人物的定义是“草根版杰森·伯恩”，而大多数观众却把它看成“低配版《碟中谍》”。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3ae18b90f897fa6ddf48_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&370& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3ae18b90f897fa6ddf48_r.jpg&&&/figure&错误的心理预期结合糟糕的国内翻译，简直是不给它活路，6100万的票房比第一部还低了3000万，全球票房同样惨不忍睹。照这个节奏下去，应该是没有第三部了，阿汤哥还是安心拍《碟中谍》和《新木乃伊》吧。&/p&&p&&br&&b&《但丁密码》&/b&&/p&&p&至今我们都不能理解，导演朗·霍华德为什么要把这个本该没有续集的系列，活生生拍到第三部，《但丁密码》在本质上跟《绝地逃亡》没有区别，只不过将后者的动作打斗换成了悬疑解谜，内核依然是一部旅游观光片。从佛罗伦萨到威尼斯再到伊斯坦布尔，与其说是跟着但丁的脚步，不如把它当成《刺客信条》的官方旅游指南。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-a1fea89e8e44c51ee86a1b6f94f40ed6_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&400& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-a1fea89e8e44c51ee86a1b6f94f40ed6_r.jpg&&&/figure&&p&欧洲美景下的故事内涵却超乎寻常得空洞乏味，人物动机缺乏可信度不说，原著中颇具讽刺意味的病毒计划，被改编成了“无脑一水黑”的瘟疫，完全抛弃了对当下社会批判隐喻的精华。看着银幕上中年发福的汤姆·汉克斯为了拯救人类卖力地奔跑着，真希望下一季的《跑男》会邀请他来做嘉宾。2006年《达·芬奇密码》在内地就已创造了票房过亿的神话，而如今《但丁密码》可怜的1.3亿国内总票房也证明了强行续作，不如死得其所。&br&&/p&&br&&br&&p&&b&《龙珠Z：复活的弗利萨》&/b&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-13cb71c915d6e2696c9ea_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&314& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-13cb71c915d6e2696c9ea_r.jpg&&&/figure&号称由漫画原著鸟山明参与了脚本制作，并且加入系列最具人气的反派弗利萨的《龙珠Z：复活的弗利萨》，终究没有逃过雷声大雨点小的命运。对于《龙珠》这部在设定上就接受角色复活的作品，把以前的boss拉出来鞭尸，玩一次还能让观众感觉到恶趣味的乐趣，但要天天这么SM，观众会不会吐一地只是时间问题。&br&&br&&br&&b&《机械师2：复活》&/b&&br&&br&我们的老朋友郭达森又来了，在每年拍一部看完即忘的低成本动作片后，他终于玩起了IP，整了个续集出来，虽然也没多少人记得第一部究竟说了什么故事。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-cfacc1db9cd39f27d549b2a6_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&398& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-cfacc1db9cd39f27d549b2a6_r.jpg&&&/figure&&p&跳水运动员出生的郭达森果然没忘了老本行，在本片中多处与水有关的泳池杀人、高台跳水等情节后，观众的内心却没有丝毫波澜，国内观众对斯坦森的喜爱很大程度上是因为，同为烂片王，他相较于尼古拉斯·凯奇还有颜值与肉体。&/p&&p&&br&&b&《惊天破》&/b&&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2cab7ea6e4cc_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&337& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2cab7ea6e4cc_r.jpg&&&/figure&据说《惊天破》的剧本，导演吴品儒构思了10年之久，但看过电影之后，我们很想问：“这十年，吴品儒到底去干什么了？”谢霆锋与刘青云扮演的角色一个移植了杀人犯的心脏，一个移植了杀人犯的肝脏，结果移植心脏的只是变得爱吃辣了，移植肝脏的却变成了罪犯。抛开影片从头至尾尴尬的棋局叙事，剧情转折的关键居然是片中“电脑天才”仅花10秒钟做出的逼真CG特效。总结一下就会发现，这是生物科研人员、象棋爱好者与影视后期工作者们被黑的最惨的一次。&br&香港警匪片的衰落是不争的事实，但像这样全程侮辱观众智商的影片还是比较少见的，《惊天破》真是惊天破！&br&&/p&&p&&br&&b&《驴得水》&br&&/b&&br&《驴得水》可能是今年最好的国产电影。8.3分的豆瓣评分成为了2016年国产}
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