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用皮亚诺公理推导1+1=2

皮亚诺公理吔称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

②每一个确定的自然数 a，都有一个确定的后继数x' x' 也是自然数（一个数的后继数僦是紧接在这个数后面的数，例如1的后继数是2，2的后继数是3等等）；

③如果b、c都是自然数a的后继数那么b = c；

④0不是任何自然数的后继数；

⑤设S是自然数集的一个子集，且（1）0属于S；（2）如果n属于S那么n'也属于S。

(这条公理也叫归纳公理保证了数学归纳法的正确性)

更正式的萣义如下： 　一个戴德金-皮亚诺结构是这样的一个三元组(X, x, f)，其中X是一个集合x为X中一个元素，f是X到自身的映射且符合以下条件：

该结构所引出的关于自然数集合的基本假设:

1.N(自然数集)不是空集；

2.N到N内存在a→a'的一一映射；

3.后继元素映射的像的集合是N的真子集，事实上即N\{1}（或N\{0})；

4.若N的子集P既含有非后继元素的元素又有含有子集中每个元素的后继元素，则此子集与N相等

∵1+1的后继数是1的后继数的后继数，即3

根据皮亚诺公理③，可得：1+1=2

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