分析中留数与积分定理是用来計算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具，也可以用来计算实函数的积分它是柯西积分定理和柯西积分公式的推广。

关于茬扩充复平面上仅有有限多个孤立奇点的解析函数有两条与留数与积分有关的重要性质：①该解析函数沿某一条不过孤立奇点的简单闭曲線积分等于其在曲线内部全部孤立奇点的留数与积分之总和乘以2πi②该解析函数关于全部孤立奇点的留数与积分之总和为零。这两条性質正好与环流量的可叠加性及质量守恒定律相一致

利用留数与积分的性质以及它与积分的关系,我们可以通过将积分运算转化为留数与积汾的计算。