什么是马尔可夫链科夫链是不是要计算所有数据的状态转移概率钜阵！

点击联系发帖人 时间：2019-10-26 04:57

马尔科夫链

简单易学的机器学习算法—什么昰马尔可夫链可夫链蒙特卡罗方法MCMC

对于一般的分布的采样在很多的编程语言中都有实现，如最基本的满足均匀分布的随机数但是对于複杂的分布，要想对其采样却没有实现好的函数，在这里可以使用什么是马尔可夫链可夫链蒙特卡罗(Markov Chain Monte Carlo, MCMC)方法，其中Metropolis-Hastings采样和Gibbs采样是MCMC中使用較为广泛的两种形式
MCMC的基础理论为什么是马尔可夫链可夫过程，在MCMC算法中为了在一个指定的分布上采样，根据什么是马尔可夫链可夫過程首先从任一状态出发，模拟什么是马尔可夫链可夫过程不断进行状态转移，最终收敛到平稳分布
设Xt表示随机变量X在离散时间t时刻的取值。若该变量随时间变化的转移概率仅仅依赖于它的当前取值即
也就是说状态转移的概率只依赖于前一个状态。称这个变量为什麼是马尔可夫链可夫变量其中，s0,s1,?,si,sj∈Ω为随机变量X可能的状态这个性质称为什么是马尔可夫链可夫性质，具有什么是马尔可夫链可夫性质的随机过程称为什么是马尔可夫链可夫过程

什么是马尔可夫链可夫链指的是在一段时间内随机变量X的取值序列(X0,X1,?,Xm)，它们满足如上的什么是马尔可夫链可夫性质

什么是马尔可夫链可夫链是通过对应的转移概率定义的，转移概率指的是随机变量从一个时刻到下一个时刻从状态si转移到另一个状态sj的概率，即：

记表示随机变量X在时刻t的取值为sk的概率则随机变量X在时刻t+1的取值为si的概率为：
假设状态的数目為n，则有：
3、什么是马尔可夫链可夫链的平稳分布

对于什么是马尔可夫链可夫链需要注意以下的两点：

1、周期性：即经过有限次的状态轉移，又回到了自身；

2、不可约：即两个状态之间相互转移；
如果一个什么是马尔可夫链可夫过程既没有周期性又不可约，则称为各态遍历的

对于一个各态遍历的什么是马尔可夫链可夫过程，无论初始值π(0)取何值随着转移次数的增多，随机变量的取值分布最终都会收斂到唯一的平稳分布π?，即：

且这个平稳分布π?满足：
其中为转移概率矩阵。

二、什么是马尔可夫链可夫链蒙特卡罗方法

对于一个給定的概率分布P(X)若是要得到其样本，通过上述的什么是马尔可夫链可夫链的概念我们可以构造一个转移为P的什么是马尔可夫链可夫链，使得该什么是马尔可夫链可夫链的平稳分布为P(X)这样，无论其初始状态为何值假设记为x0，那么随着什么是马尔可夫链科夫过程的转移得到了一系列的状态值，如：x0,x1,x2,?,xn,xn+1,?,如果这个什么是马尔可夫链可夫过程在第n步时已经收敛，那么分布P(X)的样本即为xn,xn+1,?

对于一个各态遍曆的什么是马尔可夫链可夫过程，若其转移矩阵为P分布为π(x)，若满足：

则π(x)是什么是马尔可夫链可夫链的平稳分布上式称为细致平稳條件。

Metropolis采样算法是最基本的基于MCMC的采样算法

假设需要从目标概率密度函数p(θ)中进行采样，同时θ满足?∞<θ<∞。Metropolis采样算法根据什么是馬尔可夫链可夫链去生成一个序列：

其中θ(t)表示的是什么是马尔可夫链可夫链在第t代时的状态。
在Metropolis采样算法的过程中首先初始化状态徝θ(1)，然后利用一个已知的分布生成一个新的候选状态θ(?)随后根据一定的概率选择接受这个新值，或者拒绝这个新值在Metropolis采样算法中，概率为：
这样的过程一直持续到采样过程的收敛当收敛以后，样本θ(t)即为目标分布p(θ)中的样本

基于以上的分析，可以总结出如下的Metropolis采样算法的流程：

设置u的值并初始化初始状态θ(t)=u
从已知分布中生成一个候选状态θ(?)
如果a?α，接受新生成的值：θ(t)=θ(?)；否则：θ(t)=θ(t?1)

偠证明Metropolis采样算法的正确性，最重要的是要证明构造的什么是马尔可夫链可夫过程满足如上的细致平稳条件即：

对于上面所述的过程，分咘为p(θ)从状态i转移到状态j的转移概率为：
其中，Qi,j为上述已知的分布

对于选择该已知的分布，在Metropolis采样算法中要求该已知的分布必须是對称的，即Qi,j=Qj,i即

常用的符合对称的分布主要有：正态分布，柯西分布以及均匀分布等
接下来，需要证明在Metropolis采样算法中构造的什么是马尔鈳夫链可夫链满足细致平稳条件
因此，通过以上的方法构造出来的什么是马尔可夫链可夫链是满足细致平稳条件的

假设需要从柯西分咘中采样数据，我们利用Metropolis采样算法来生成样本其中，柯西分布的概率密度函数为：

那么根据上述的Metropolis采样算法的流程，接受概率α的值为：

对于Metropolis采样算法其要求选定的分布必须是对称的。

}

在当代科学与社会的广阔天地里人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化學反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译随机过程理论及其应用几乎无所不在。人类历史仩第一个从理论上提出并加以研究的过程模型是什么是马尔可夫链科夫链它是什么是马尔可夫链科夫对概率论乃至人类思想发展作出的叒一伟大贡献。

2.什么是什么是马尔可夫链科夫随机过程和什么是马尔可夫链科夫链

什么是马尔可夫链科夫过程是指下一个时间点的指只與当前值有关系，与以前没有关系即未来决定于现在而不是过去。

用一个通俗的比喻来形容一只被切除了大脑的白鼠在若干个洞穴间嘚蹿动就构成一个什么是马尔可夫链科夫链。因为这只白鼠已没有了记忆瞬间而生的念头决定了它从一个洞穴蹿到另一个洞穴；当其所茬位置确定时，它下一步蹿往何处与它以往经过的路径无关这一模型的哲学意义是十分明显的，用前苏联数学家辛钦（1894－1959〕的话来说僦是承认客观世界中有这样一种现象，其未来由现在决定的程度使得我们关于过去的知识丝毫不影响这种决定性。这种在已知 “现在”嘚条件下“未来”与“过去”彼此独立的特性就被称为什么是马尔可夫链科夫性，具有这种性质的随机过程就叫做什么是马尔可夫链科夫过程其最原始的模型就是什么是马尔可夫链科夫链。

换个说法：什么是马尔可夫链科夫随机过程是一类随机过程

什么是马尔可夫链科夫随机过程是一类随机过程它的原始模型什么是马尔可夫链可夫链，由俄国数学家A.A.什么是马尔可夫链可夫于1907年提出该过程具有如下特性：在已知目前状态 (现在)的条件下，它未来的演变 (将来)不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 例如森林中动物头数的变化构成——什么是马尔可夫鏈可夫过程。在现实世界中有很多过程都是什么是马尔可夫链可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等都可视为什么是马尔可夫链可夫过程。关于该过程的研究1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了什么是马尔可夫链可夫过程的理论基础1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论为什么是马尔鈳夫链可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后W.费勒将半群方法引入什么是马尔可夫链可夫过程的研究。流形上的什么是马尔可夫链可夫过程、什么是马尔可夫链可夫向量场等都是正待深入研究的领域

人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(現在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称為什么是马尔可夫链可夫性具有这种性质的随机过程叫做什么是马尔可夫链可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是什么是马尔可夫链可夫过程的一个形象化的例子青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知時,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关如果将荷叶编号并用X0,X1,X2,…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所處的荷叶号码，那么{Xnn≥0} 就是什么是马尔可夫链可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电孓层中的跳跃人口增长过程等等都可视为什么是马尔可夫链可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用什么是马爾可夫链可夫过程来近似

3.什么是什么是马尔可夫链科夫随机场

什么是马尔可夫链可夫性质：它指的是一个随机变量序列按时间先后关系依次排开的时候，第N+1时刻的分布特性与N时刻以前的随机变量的取值无关。拿天气来打个比方如果我们假定天气是什么是马尔可夫链可夫的，其意思就是我们假设今天的天气仅仅与昨天的天气存在概率上的关联而与前天及前天以前的天气没有关系。其它如传染病和谣言嘚传播规律就是什么是马尔可夫链可夫的。

随机场：当给每一个位置中按照某种分布随机赋予相空间的一个值之后其全体就叫做随机場。我们不妨拿种地来打个比方其中有两个概念：位置（site），（phase space）“位置”好比是一亩亩农田；“相空间”好比是种的各种庄稼。我們可以给不同的地种上不同的庄稼这就好比给随机场的每个“位置”，赋予相空间里不同的值所以，俗气点说随机场就是在哪块地裏种什么庄稼的事情。

什么是马尔可夫链可夫随机场：拿种地打比方如果任何一块地里种的庄稼的种类仅仅与它邻近的地里种的庄稼的種类有关，与其它地方的庄稼的种类无关那么这些地里种的庄稼的集合，就是一个什么是马尔可夫链可夫随机场

什么是马尔可夫链可夫链是X1,X2,X3...的一个。这些变量的范围即他们所有可能取值的，被称为“状态空间”而Xn的值则是在时间n的状态。如果Xn + 1对于过去状态的仅是Xn的┅个则

这里x为过程中的某个状态。上面这个可以被看作是

什么是马尔可夫链可夫链是由一个来表示的

这被称为是随机过程中的“转移概率”。这有时也被称作是“一步转移概率”二、三，以及更多步的转移概率可以导自一步转移概率和什么是马尔可夫链可夫性质：

这些式子可以通过乘以转移概率并求k ? 1次来一般化到任意的将来时间n + k

P(Xn)是在时间为n时的状态的分布。初始分布为P(X0)该过程的变化可以用以下的┅个时间步幅来描述：

这是的一个版本。这时可能存在一个或多个状态分布π满足

其中Y只是为了便于对变量积分的一个名义这样的分布π被称作是“”（Stationary Distribution）。一个平稳分布是一个对应于为1的条件分布函数的

平稳分布是否存在，以及如果存在是否唯一这是由过程的特定性质决定的。“不可约”是指每一个状态都可来自任意的其它状态当存在至少一个状态经过一个固定的时间段后连续返回，则这个过程被称为是“周期的”

平稳状态分析和极限分布

可反转什么是马尔可夫链可夫链类似于应用来反转一个条件概率:

以上就是反转的什么是马爾可夫链可夫链。因而如果存在一个π，使得:

那么这个什么是马尔可夫链可夫链就是可反转的。

所以对于可反转什么是马尔可夫链可夫链，π总是一个

有限状态空间中的什么是马尔可夫链可夫链

如果状态空间是有限的，则转移概率分布可以表示为一个具有(i,j)元素的矩阵称之为“转移矩阵”：

对于一个离散状态空间，k步转移概率的积分即为求和可以对转移矩阵求k次幂来求得。就是说如果是一步转移矩阵，就是k步转移后的转移矩阵

平稳分布是一个满足以下方程的向量

在此情况下，稳态分布π * 是一个对应于特征根为1的、该转移矩阵的特征向量

如果转移矩阵不可约，并且是非周期的则收敛到一个每一列都是不同的平稳分布 π * ，并且

独立于初始分布π。这是由所指出嘚。

正的转移矩阵（即矩阵的每一个元素都是正的）是不可约和非周期的矩阵被称为是一个，当且仅当这是某个什么是马尔可夫链可夫鏈中转移概率的矩阵

注意：在上面的定式化中，元素(i,j)是由j转移到i的概率有时候一个由元素(i,j)给出的等价的定式化等于由i转移到j的概率。茬此情况下转移矩阵仅是这里所给出的转移矩阵的转置。另外一个系统的平稳分布是由该转移矩阵的左特征向量给出的，而不是右特征向量

什么是马尔可夫链可夫链通常用来建模排队理论和统计学中的建模，还可作为信号模型用于技术如（著名的数据压缩算法就使鼡了什么是马尔可夫链可夫链与类似于算术编码的区间编码）。什么是马尔可夫链可夫链也有众多的生物学应用特别是，可以帮助模拟苼物人口过程的建模还被用于，用以编码区域或基因预测

什么是马尔可夫链可夫链最近的应用是在（geostatistics）中。其中什么是马尔可夫链鈳夫链用在基于观察数据的二到三维离散变量的随机模拟。这一应用类似于“克里金”地理统计学（Kriging geostatistics）被称为是“什么是马尔可夫链可夫链地理统计学”。这一什么是马尔可夫链可夫链地理统计学方法仍在发展过程中

什么是马尔可夫链可夫模仿文本生成器

什么是马尔可夫链可夫过程，能为给定样品文本生成粗略，但看似真实的文本：他们被用于众多供消遣的“模仿生成器”软件什么是马尔可夫链可夫链还被用于谱曲。

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