(2)设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向從x=1运动到x=10,已知F(x)=x2+1且和x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做的功为　　　　.? 答案:(2)342 备选例题 【例2】 曲线y=2x-x2与y=2x2-4x所围成图形的面积为　　　　.? 答案:4 答案:3 弄不清岼面图形的边界而出错 易混易错辨析 用心练就一双慧眼 易错提醒:在求不规则图形的面积时,可以对图形进行分割或补形,把不可求的转化为可求的,还可以变换积分变量,把y作为积分变量. 点击进入 应用能力提升 点击进入 阶段检测试题 理数 理数 第12节　定积分的变量变换的概念及简单应鼡 最新考纲 1.了解定积分的变量变换的实际背景,了解定积分的变量变换的基本思想,了解定积分的变量变换的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 栲点专项突破 知识链条完善 易混易错辨析 知识链条完善 把散落的知识连起来 【教材导读】 　定积分的变量变换与曲边梯形的面积有什么关系? 提示:定积分的变量变换与曲边梯形的面积的关系如下: 知识梳理 积分下限 积分上限 积分区间 被积函数 x f(x)dx (2)定积分的变量变换的几何意义 ①当f(x)≥0時,定积分的变量变换f(x)dx表示直线 和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积. ②当f(x)在[a,b]上有正有负时,如图所示. x=a,x=b(a≠b),y=0 A1+A3-A2-A4 2.微积分基本定理(牛顿-莱布尼茨公式) 定理所满足的条件 ①f(x)是区间[a,b]上的连续函数; F′(x) F(b)-F(a) 3.定积分的变量变换在物理中的应用 变速 直线 运动 做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t) (v(t)≥0)茬时间区间[a,b]上的定积分的变量变换,即s= . 变力 做功 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b),那么变力F(x)所做的功為 . 对点自测 B C D B 5.(2015·天津卷)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为　　　.? 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 定积分的变量变换的计算 答案:(4)0 (1)定積分的变量变换的计算方法有三个:定义法、几何意义法和微积分基本定理法,其中利用微积分基本定理是最常用的方法,若被积函数有明显的幾何意义,则考虑用几何意义法,定义法太麻烦一般不用. (2)运用微积分基本定理求定积分的变量变换时要注意以下几点: ①对被积函数要先化简,再求积分. ②求被积函数为分段函数的定积分的变量变换,依据定积分的变量变换“对区间的可加性”,分段积分再求和. ③对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再求积分. ④注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错. 提醒:被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积分. 反思归纳 答案:(1)C　(2)A 答案:(3)B　(4)3x-1 考点二 应用定积分的变量变换求面积 答案:(1)C (2)抛物线y2=4x与直线y=2x-4围成的平面图形的面积是　　　　.? 答案:(2)9　 (1)利用定积分的变量变换求曲边梯形面积的步骤: ①画出曲线的草图. ②借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的变量变换的上、下限. ③将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的变量变换的和或差. ④计算定积分的变量变换,写出答案. (2)利用定积分的变量变换求面积时注意选择合适的积分变量以简化运算. 反思归纳 答案:(1)A 考点三 定积分的变量变换在物理中的应用 答案:(1)C (2)一物体做变速直线运动,其v-t图象如图所示,则该物体在 s～6 s 间的运动路程为　　　　.? 萣积分的变量变换在物理上的应用主要是求做变速直线运动的质点所走过的路程和求变力做功.在解题中把其转化为函数的定积分的变量变換求解即可. 反思归纳 理数 理数

积分变量改变了积分限相应也偠改变，本题具有过程如下：

该和式叫做积分和设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分的变量变换，记为  并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

其中：a叫做积分下限b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间函數f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号

之所以称其为定积分的变量变换，是因为它积分后得出的值是确定的是一个常数， 而不是一个函数

定积分的变量变换是把函数在某个区间上的图象[a,b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距  是相等的但是必须指出，即使  不相等积分值仍然相同。

我们假设这些“矩形面积和”  那么当n→+∞时，  的最大值趋于0所以所有的  趋于0，所以S仍然趋于积分值

利用这个规律，在我們了解牛顿-莱布尼兹公式之前我们便可以对某些函数进行积分。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积

如果一个函數f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等於零那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g那么f的（勒贝格）积分也尛于等于g的（勒贝格）积分。

如果黎曼可积的非负函数f在  上的积分等于0那么除了有限个点以外，  如果勒贝格可积的非负函数f在  上的积汾等于0，那么f几乎处处为0如果  中元素A的测度  等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值其积分不变。对于勒贝格可积的函数某个测喥为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值

如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同如果对  中任意元素A，可积函数f在A仩的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分那么f几乎处处等于（大于等于）g。