数学中的猜想
数学中的猜想
假如要将一个二维扁片人关起来，只消用线在他四周画一个圈即可，这样一来，在二维空间的范围内，他无论如何也走不出这个圈
爱因斯坦在他的《广义相对论》和《狭义相对论》中提及的“四维时空”概念。根据爱因斯坦的概念，我们的宇宙是由时间和空间构成。时空的关系，是在空间的架构上比普通三维空间的长、宽、高三条轴外又加了一条时间轴，而这条时间的轴是一条虚数值的轴。
例子，&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
一把尺子在三维空间里（不含时间）转动，其长度不变，但旋转它时，它的各坐标值均发生了变化，且坐标之间是有联系的。四维时空的意义就是时间是第四维坐标，它与空间坐标是有联系的，也就是说时空是统一的，不可分割的整体，它们是一种“此消彼长”的关系
&1960年，在神秘的百慕大海域也发生一件怪事。在众多旁观者面前，美国的战斗机被云吞噬，就此消失。
目击者之一H．维克多回忆说：“当时我在金德雷空军基地的人工卫星站工作。那天气候良好，空中除了一朵云之外，一片晴朗。
&&&“五架战斗机从事训练飞行。包括我在内，很多基地人员都在观赏天空的情况，五架战斗机在离海岸800米的上空冲进一朵飘浮的白云中，拼命伸长脖子望着天空，但是它始终未再出现。
&&&“基地顿时骚动起来。控制塔的指挥自始至终都是目击者，他也一样没有看到任何物体从云中掉到海上，雷达屏幕上也显示出本来的五架战斗机的影子，突然间地消失了一架，立即引起官方注意，而派出搜索队。
“搜索的范围是基地的海岸到800公尺外的浅滩。
“找了又找，连一个战斗机破片也没有发现。那朵白云吞噬了一架战斗机，在不知不觉中消失了……”
&日又出现了一件古怪的事，那天，在南美洲阿根廷首都布宜诺斯艾利斯郊外，两辆汽车正在高速公路上行驶。一辆坐着律师毕特耳夫妇，另一辆载着他们的朋友——哥登夫妇，他们的目的地是150公里外的麦布市。哥登夫妇一路领先，不久，汽车的暮色中到达麦布市郊，回头往后一看，毕特耳夫妇的车子不见了，他们还以为律师车子发生了故障，进城后，他俩分头打电话给沿途的村镇，又派人沿高速公路搜索。
&两天过后，一无所获，哥登夫妇只好报警。就在同一天，哥登接到墨西哥打来的长途电话，说话人竟是毕特耳律师本人。原来他们遇到了一件不可思议的奇事：
当毕特耳夫妇的车子经过雪斯哥姆市后，车子前方突然白雾笼罩，不久，车身全被白雾包围。毕特耳看表，时间是午夜12点10分，就在这时，夫妇俩忽然昏迷过去。也不知经过多少时候，他们苏醒过来，天色已经放亮，车子仍然在高速公路上行驶。奇怪的是，路上的风光景色，以及行人的穿戴服饰，都和阿根延不同，停车一问，真叫人大吃一惊：原来他们已在墨西哥城了！阿根延距离墨西哥最少也有6000公里，他们怎么会把车子从阿根延开到墨西哥的呢？律师先生自己也说不出个头绪来。
&&&毕特耳夫妇赶快打电话给阿根延驻墨西哥的领事馆，要求帮忙，这时，他们两人的表针都停在12点10吩，而实际上，这天已是6月3日了。像这种怪事，世界上已发现过多次，所以，引起了许多科学家的注意。
【科学家的解释】
&&&科学家认为：地球和某种神秘世界之间，存在着一种不可捉摸的通道。通道的两边是两个不同层次的世界。研究这种现象的人，把藏在通道另一侧的神秘世界，称作“四度空间”。
&&&宇宙是天穷无尽的，在浩瀚无涯的宇宙中，还蕴藏着无数的秘密。科学家们对“四度空间”深入探索将会揭开这“神秘世界”之谜。所谓“四度空间”的奥秘，必定在不久的将来被人类所认识。
一维是指一条有原点的直线，如数轴之类，意思是定下原点后，就可以用一个数字表示位置
二维是指一个平面，需要用垂直相交的轴来定位，通过两个数字表示位置
三维类推就是三个数字啦，就好像立体空间
四维通常指的是在三维立体空间上加上时间轴，用某时间点上的三维数字标志位置状态，我们应该是在四维空间中的
五维就是动态的空间叫“速度”
六维是因动产生磨擦而生“温度”
七维是因温度产生热至爆炸而生“电”
&科学家们认为，三维空间模型已经是非现实的，现在宇宙学家将时间看作第四维，而第五维指的是能量无界限。根据科学家的假设，宇宙是平坦的，而这就有可能作时光旅行。
当一个物体运动速度接近光速时，物体周围的时间会迅速减慢、空间会迅速缩小。当物体运动速度等于光速时，时间就会停止、空间就会微缩为点，也就是说出现零时空。当物体运动速度超过光速时，时间就会出现倒流即所谓负时间；空间也会相应回到过去空间，也就是所谓的负空间，这时该物体就进入了负时空，即时空倒流或时空倒转，从而该物体就实现了瞬移即瞬间移动
中国科学院理论物理所朱传界教授告诉记者，“宇宙应该是十维的”是根据一种超弦理论的论证，科学家通过数学方程计算得出的结论。就目前而言，人们只了解一维时间、二维平面、三维空间以及爱因斯坦提及的“四维时空”概念。除此之外，“超弦理论”预测还应该存在另外六个人类未知的空间维度。
&那为什么另外六个空间维度看不见呢？
&朱教授以水管为例说，当人们站在这根水管的正面看时，水管就是一条直线，我们就只看到了它的前后，它就是一维的。当人们站在一个平面里，看这根水管，就能看到水管的上下左右，那么人们就看到了它就是二维的。当人们在一个立体的空间里看这个水管，它的前后、左右、上下都收纳在我们的眼中，那么它就是三维的。
&可如果人们把这根水管放在两维的平面中，然后又把这个两维的平面放在三维空间中，那么会是什么样的呢？于是，科学家把水管想象成像一根头发丝那样细。科学家认为，六个“隐藏”的空间维度，以极其微小的几何形状，卷曲在我们宇宙的每一个点中。
&这种观察六维形状的方法之所以被发表在《物理评论快报》上，是因为这种方法能证明通过实验数据来观察这些难以捉摸的维度形状特征是可行的。同时，六维空间的存在也是证实“超弦理论”的主要方面
六维空间究竟存不存在
　　从广袤星系到亚原子微粒，“超弦理论”囊括了所有物体的物理学规律。几十年来，关于“超弦理论”，很多科学家都争论不休，赞同的、反对的，各种声音都有。
　　拥护者：
　　没有一个意见能够反驳
　　不少超弦理论的拥护者表示，目前还没有一个持反对意见者能驳倒它。一旦验证“超弦理论”是正确的，那么人们就能通过解密它们对130亿年前宇宙大爆炸释放的宇宙能有所了解，借助时间机器，穿越黑洞后，“看见”神秘的六维几何体。
　　“不过，你也不用为看不见十维的世界而感到担忧。”威斯康星大学麦迪逊分校的这位物理学家说，“因为我们的大脑习惯于只是三维的空间，而对于其他六维空间结构却很难感知。虽然科学家们利用计算机模拟出了类似的六维几何体，但没有人能够确切地知道他们的形状到底是怎么样的。”
　　他说，“我们的想法就是回到那个时候看看到底发生了什么事情，当然我们不可能真的回去。”
　　很多科幻爱好者都梦想着搭乘时间机器遨游时空，有些科学家也尝试着用最新的原理来证明时间旅行的可行性,也试着用“超弦理论”来讨论它。
　　因为缺少必要的时间机器，他们使用了另外一个最好的东西，一幅宇宙大爆炸释放的宇宙能量图。这种爆炸释放的能量在随后的130亿年里其实都没有发生变化，它可以被卫星捕捉到，比如美国的威尔金森微波各向异性探测器。通过绘制出宇宙能量图可以帮助人类对宇宙的雏形有一个大概的印象。
　　反对者：
　　六维空间仅是人为想象
　　“对超弦理论，我不敢兴趣。”记者在采访中国科学院院士何祚庥时，他明确表示，这仅仅是人为的想象推断，根本没有讨论的必要和研究价值。
　　“我个人反对弦论研究者用这样肯定的口气说话。也许我们真的掌握了部分真理，也许我们一直以来仅仅是研究一个针尖上能有多少天使跳舞。”中国科学院理论物理所研究员李淼在其个人博客这样说道。
【同名词条】六维空间游戏
　　介绍：打砖块迷们又有新发现了，六维空间、30道险关、多种能量块奖励、特效背景音乐，这一切都将挑战打砖块系列游戏的最高极限！只有六维空间能够赋予你这个挑战的机会。你的任务就是要摧毁一个由六边形砖块堆起来的球体。你要用一只球板来控制一个弹跳的球来完成这项工作。如果球板没有接到球的话，球就会掉入一个孔道后消失，如何避免这一点是个挑战。如果做不到的话，你就麻烦了！
　　六维空间需要玩家通过控制球板反弹跳动的小球来摧毁一个由六边形砖块堆起来的球体，同时要尽量避免跳动的小球落入涡旋孔道。在游戏过程中玩家会有足够多的机会得到各种能量块和奖励，使玩家可以加速、减速、获取奖励积分或者可以塞住孔道。摧毁每一个球都会得分，速度越快你的分数会越高，级别越高得分越多。每过5个级别会是一个奖励局，但是如果失去一条命，奖励会终止。
霍金的解释
霍金提出了他的宇宙模型，给出了11维空间，认为要描述宇宙，X、Y、Z和T(时间)4个未知数是不够的，要加到11个未知数之后，才能够解释宇宙的很多结构。另一种说法，宇宙十一维是爱德华·维顿提出来的
要证明费马最后定理是正确的
（即x^ n+ y^n = z^n 对n&=3 均无正整数解）
只需证 x^4+ y^4 = z^4 和x^p+ y^p = z^p (P为奇)，都没有整数解。&
陈氏定理是中国数学家于1966年发表，1973年公布详细证明方法。这个定理证明任何一个足够大的偶数都可以表示成一个素数和一个半素数的和，也就是我们通常所说的“1＋2”。
1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。这就是著名的哥德巴赫猜想
陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”
下面摘录的是1987年出版的《数学家小辞典》以及其它一些文献中收集的希尔伯特23个问题及其解决情况：
1874年，康托猜测在可列集基数和实数基数之间没有别的基数，这就是著名的连续统假设。1938年，哥德尔证明了连续统假设和世界公认的策梅洛--弗伦克尔集合论公理系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科亨证明连续假设和策梅洛--伦克尔公理是彼此独立的。因此，连续统假设不能在策梅洛--弗伦克尔公理体系内证明其正确性与否。希尔伯特第1问题在这个意义上已获解决。
& &2． 算术公理的相容性 几何的相容性可归结为算术公理的相容性。希尔伯特曾提出用形式主义计划的证明论方法加以证明。1931年，发表的不完备性定理否定了这种看法。1936年德国数学家根茨在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的相容性。
&1988年出版的《中国大百科全书》数学卷指出，数学相容性问题尚未解决。
& &3． 两个等底等高四面体的体积相等问题
&问题的意思是，存在两个等边等高的四面体，它们不可分解为有限个小四面体，使这两组四面体彼此全等。M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。
两点间以直线为距离最短线问题此问题提得过于一般。满足此性质的几何学很多，因而需增加某些限制条件。1973年，苏联数学家波格列洛夫宣布，在对称距离情况下，问题获得解决。
&《中国大百科全书》说，在希尔伯特之后，在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。
& & 5.一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的不假定是可微的 这个问题简称连续群的性，即：是否每一个局部欧氏群都有一定是？中间经冯·诺伊曼（1933，对紧群情形）、庞德里亚金（1939，对交换群情形）、谢瓦荚（1941，对可解群情形）的努力，1952年由格利森、、齐宾共同解决，得到了完全肯定的结果。
&6.物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力学。1933年，苏联数学家实现了将公理化。后来在、方面取得了很大成功。但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑。
& &7.某些数的无理性与超越性
1934年，A.O.和T.各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0
，1，和任意代数无理数β证明了αβ 的超越性。
& &8.素数问题 包括、及问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想的最佳结果属于陈景润（1966），但离最解决尚有距离。目前孪生素数问题的最佳结果也属于陈景润。
& & 9．在任意中证明最一般的互反律 该问题已由日本数学家（1921）和德国数学家E.（1927）解决。
丢番图方程的可解性能求出一个整系数方程的整数根，称为丢番图方程可解。希尔伯特问，能否用一种由有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？1970年，苏联的IO.B.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的不存在。
& &11． 系数为任意代数数的二次型
H.哈塞（1929）和C.L.西格尔（）在这个问题上获得重要结果。
& &12． 将域上的克罗克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远。
& &13． 不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程
七次方程的根依赖于3个参数a、b、c，即x=x
（a，b，c）。这个函数能否用二元函数表示出来？苏联数学家阿诺尔德解决了的情形（1957），维士斯金又把它推广到了连续可微函数的情形（1964）。但如果要求是，则问题尚未解决。
证明某类完备函数系的有限性这和代数不变量问题有关。1958年，日本数学家永田雅宜给出了反例。
舒伯特计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒伯特给出了一个直观解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在已有了一些可计算的方法，它和代数几何学不密切联系。但严格的基础迄今仍未确立。
& &16． 和代数曲线面的拓扑问题这个问题分为两部分。前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目。后半部分要求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式.苏联的彼得罗夫斯基曾宣称证明了n=2时极限环的个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例（1979）。
& &17． 半形式的平方和表示 一个实系数n元多项式对一切数组(x1,x2,...,xn)
都恒大于或等于0，是否都能写成平方和的形式？1927年阿廷证明这是对的。
用全等多面体构造空间由德国数学家比勃马赫（1910）、荚因哈特（1928）作出部分解决。
正则变分问题的解是否一定解析对这一问题的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得罗夫斯基等得出了一些结果。
一般边值问题这一问题进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支。目前还在继续研究。
具有给定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和H.（1957）的工作解决。
由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰辛的论，1907年P.克伯获重要突破，其他方面尚未解决。
& &23． 的进一步发展出这并不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法。20世纪以来变分法有了很大的发展。
&这23问题涉及现代数学大部分重要领域，推动了20世纪数学的发展。
六种高代方法概说
一. 标准型方法:
变换理论的两大方法之一。对于一个命题将它关联到一个变换理论,至于哪一种变换当然看命题里的量是否在该种变换下不变。
其方法分两步,先对标准型验证或证明命题成立,再用变换将命题推广到(过渡到)一般情形。
例子：1）正定矩阵有正定的平方根矩阵。
（先看对角矩阵，再用正交相似变换过渡）
2）任一矩阵有列满秩阵与行满秩阵的乘积分解。（也叫矩阵的满秩分解）
（先分解 [ E r 0 0 0 ] ，再用初等变换过渡 ）
3）特征值互异的方阵Ａ,与Ａ交换的矩阵必然是Ａ的多项式。
（它在相似变换下的标准型说法就是：当对角矩阵对角元素互相不同时，与它交换的矩阵只能是对角矩阵。所以先单独证明这个命题，再用相似变换过渡到一般情形）
二 不变量方法
变换理论的两大方法之二。主要用于证明两个方阵可以或不可以相互变换。例如不相似、不合同,以及正定性判断,求特征值等。此外一些计算也常用不变量方法。
例如：1）行列式等于特征值乘积；
2）线性方程组有解等价于两个秩相等。
总的来说是一句话，尽量把命题、事实用不变量来描述。
三 初等变换方法（分块矩阵）
要点是左行右列四个字---行变换行组合是在左边乘上变换阵或组合系数阵,而列变换列组合是在右边乘变换阵或组合系数阵。
例如:Ａ＋Ｂ＝Ｅｎ,则ＡＢ＝０当且仅当ｒａｎｋ（Ａ）＋ｒａｎｋ（Ｂ）＝ｎ。
四 选基底方法
高代中基底是表示线性(子)空间的方法。在教材中求极大无关组和求齐次线性方程组的基础解系都可理解为选基底。把矩阵相似对角化也可看成是选择由该矩阵的特征向量组成的基底。
有两种应用:
其一,计算维数或证明维数关系。选基底后维数、秩都成为基向量个数了,所以数一数个数就可以得到维数关系和秩关系。这个用法可概括成---
选择基底以便把维数、秩表示成向量个数。
其二,选择基底可以得到坐标化,例如线性变换对应到了方阵,而抽象向量表示成了一个列矩阵,线性泛函表示成了行矩阵。这样给出了方阵理论与线性变换理论相互转化的方法。通常这方面选基底的方法是要选出最好的基底以便得到最好的坐标化,这与标准型方法是统一的。例如：
１）使线性变换的矩阵是对角阵的基底是由线性变换的特征向量组成的基底。
２）怎样刻画使得线性变换的矩阵是Jordan型的基底呢（叫Jordan基底）。
五 扰动方法
主要用于从可逆方阵到不可逆方阵的过渡，有伴随矩阵时常用。
原理是:对任何一个ｎ阶方阵Ａ,
Ａ＋ｋＥ除了至多ｎ个数以外总是可逆的。所以一个公式如果对于可逆矩阵成立,且把可逆方阵代为Ａ＋ｋＥ时等式两边是ｋ的多项式,则可以令ｋ趋于０而得到对于不可逆方阵Ａ公式也成立。
例如：公式 （ＰＱ）* = Ｐ＊Ｑ＊　的证明，可以用扰动法。
具体的例子散见于论坛的各帖子中，或者搜索一下我发的所有帖子也可以。
过段时间可能就会没时间来发帖子了，加上考研将近，希望这个帖子能对大家有些裨益。
最后，将此帖送给听过我的课的所有学生们，希望他们考好。
看来，可以再加上一种方法，但是不好起名字，姑且叫做抽象对象的方法？？？
六　抽象对象法：
方法是：直接把矩阵看作是线性变换或者二次型的系数矩阵（严格说是对称双线性函数的系数矩阵），然后可以利用这两种对象的理论处理，或者可以重新选基底来得到等价于原命题的不同的形式。例子见下：
（正定矩阵Ａ和对称矩阵Ｂ的乘积特征值全是实数，Georgexue_1999君）
也可以参考以下帖子，那里给出的三个问题都可以用这种方法处理一下（已经含有上面链接所提的问题）
（Ａ为正定Hermite矩阵，Ｂ为反Hermite矩阵，则AB的特征值实部为0。）
（正定矩阵Ａ大于等于半正定矩阵Ｂ，则矩阵Ａ - 1 Ｂ的特征值在０，１中间。）
把以上问题中的正定矩阵Ａ看作内积，另一个对称矩阵Ｂ看作对成双线性函数，使用一个表示定理：
欧氏空间上对称双线性函数ｆ可以表示为唯一一个线性变换Ｔ，满足：
ｆ（ｘ，ｙ）＝（Ｔｘ，ｙ）。（等式右边括号表示内积）
这样可以说　矩阵　Ａ - 1 Ｂ 是对称双线性函数Ｂ在内积Ａ下对应的线性变换了。所以　　Ａ - 1
Ｂ也可以说是对称变换，只是是关于内积Ａ的而已。
原理－－－本方法与选基底方法的第二个应用，坐标化，正好相反。是把已经是坐标的形式的矩阵看作是与基底坐标选择无关的抽象对象，常见的是线性变换、对称双线性函数两种。可以看作是一种非坐标化过程（或者由坐标过渡到抽象的不变量的过程）。
由于在高等代数中基本理论有两种叙述方式，一种是纯用矩阵叙述，一种纯用抽象概念－－－线性变换、对称双线性函数等叙述。所以可以说在高等代数中有一个原则是描述这两种叙述方法的关系的：
一切变换都应该解释为（某一个抽象对象的）坐标变换。
这样抽象对象实际上就是该种变换的不变量了。因此，本方法实际上是不变量方法的特殊情形。只不过这里的不变量不是矩阵的某一个数量指标，而是以矩阵为其坐标的抽象对象。
数学与当代生命科学
20世纪中期，随着蛋白质空间结构的解析和DNA双螺旋的发现，形成了以遗传信息载体核酸和生命功能执行者蛋白质为主要研究对象的分子生物学时代。分子生物学的诞生使传统的生物学研究转变为现代实验科学。但是，在生命科学领域的实验科学与其它实验科学如实验物理学相比，更多地是注重经验，而非抽象的理论或概念。此外，这些生物学家们大多关注定性的研究，以发现新基因或新蛋白质为主要目标，对于定量的研究，如分子动力学过程等没有给予足够的重视。尽管如此，现代生命科学在20世纪的下半叶还是取得了丰盛的成果。正如美国科学院院长分子生物学家阿尔伯特(B.
Albert)所说，“在一个基因克隆占主要地位的时代，当今许多优秀的科学家在不具备任何定量研究的能力下仍然取得了巨大的成绩”。但是，随着后基因组时代的到来，生物学研究者的定量研究能力和知识已不再是可有可无的了。
英国生物学家保罗?纳斯(Paul Nurse)
因细胞周期方面的卓越研究成为了2001年度诺贝尔生理学或医学奖的得主。他曾在一篇回顾20世纪细胞周期研究的综述文章中以这样的文字结束：“我们需要进入一个更为抽象的陌生世界，一个不同于我们日常所想象的细胞活动的、能根据数学有效地进行分析的世界。”
也许基于同样的考虑，2000年10月美国国家科学基金会（NSF）的主任科勒威尔(R.
Colwell)在向国会提交的报告中，称数学是当前所有新兴学科和研究领域的基础，要求下一年度对数学的资助要增加3倍以上，达到1.21亿元美金。在这些增加的预算中，有很大的一部分被用来支持数学与其它学科的交叉研究，尤其是数学与生物学的交叉研究项目。
尽管数学一直在现代生命科学中扮演着一定的角色，如数量遗传学、生物数学等。但真正体会到数学重要性的还是20世纪90年代生物学家。基因组学是这种趋势的主要催化剂。随着DNA序列测定技术的快速发展，20世纪90年代后期每年测定的DNA碱基序列以惊人的速度迅速增长。以美国的基因数据库（GenBank）为例，1997年拥有的碱基序列为1x109，次年就翻了一番，为2x109；到2000年GenBank已拥有近8x109个碱基序列。同样，在蛋白质组研究和转录组研究等快速推进的过程中，各种数据也在迅猛的增加。据估计，现在生物数据量可以达到每年1015字节。如何管理这些“海量”数据，以及如何从它们中提取有用的知识成为了对当前生物学家、数学家、计算机专家等的巨大挑战。由此引出了一门新兴学科：生物信息学(Bioinformatics)。此外，对细胞和神经等复杂系统和网络的研究导致了数学生物学(Mathematical
Biology)的诞生。美国国家科学基金委员会为此专门启动了一项“定量的环境与整合生物学”的项目，以鼓励生物学家把数学应用到生物学研究中去。几乎在同一个时间，美国国立卫生研究院也设立了一项“计算生物学”的重大项目。
理解生命的新工具：模型
上面的论述也许会造成这样一种印象，数学在现代生命科学中的应用主要是在“海量”数据的处理方面。可以这样说，今天的确是有许多生物学家是从“计算”的角度来看待数学对生命科学的作用。然而，对于理解生命现象来说，计算是远远不够的。当我们把通过基因芯片获得的成千上万的实验数据喂进一台计算机，让计算机根据一定的运行程序吐出一堆堆的结论时，我们是否可以认为，我们已经理解了所要研究的生物学问题？不仅如此，我们也许还需要警惕，不要让计算机代替我们的思考。
对于今天的生命科学工作者，数学的价值应该体现在“模型化”(Modelling)方面。通过模型的构建，那些看上去杂乱无章的实验数据将被整理成有序可循的数学问题；通过模型的构建，所要研究的问题的本质将被清晰地抽象出来；通过模型的构建，研究者们的实验不再是一种随意的探索，而是通过“假设驱动”（Hypothesis-driven
approach）的理性实验，就如同物理学家们的工作一样。
上个世纪的实验生物学家把生命视为一个线性的系统，力图以一种简单的因果关系来解释生命活动。通常在那些寻找新基因的研究者的内心深处，大多拥有一个“基因决定论”的愿望：一旦找到了某一种基因，就能解答一个生物学问题。癌症有“癌基因”，长寿有“长寿基因”，聪明有“聪明基因”，甚至犯罪都是由一种“犯罪基因”所造成。但是，几十年的研究轨迹，划出的却是一幅幅越来越复杂的图案。以人类发现的第一个肿瘤抑制基因p53来说，自1979年发现至今，已有近2万5千篇文章涉及到它；直接与p53相互作用的蛋白质多达数十种，新的还在发现之中。现在人们看到的p53已经是一个相当复杂的调控网络。显然，没有数学模型的帮助，要理解和分析p53的功能将不是一件容易的事。不久前，发现p53的生物学家之一莱文尔(A.
J. Levine)和数学家一起，建立了一个解释p53调控线路的数学模型[1]。
数学不仅能帮助我们从已有的生物学实验和数据中抽象出模型和进行解释，它还可以用于设计和建造生物学模型，也许这些生物学模型在自然的状态下是不存在的。在这种意义上说，基于数学模型和假设进行的生物学实验将更接近我们所熟知的物理学和化学实验，更多的依赖于抽象和理性，不再是一门经验科学。
新世纪伊始，数学指导实验已成为了现实。不久前，美国的科学家在《自然》（Nature）杂志上报道了他们人工设计的生物模型。普林斯顿大学科学家设计了一个自然界不存在的控制基因表达的网络。这个网络可以周期性的调控大肠杆菌内一个外源基因的表达[2]。在同一期杂志上，波士顿大学的生物学家也报告了他们相类似的工作[3]。这两个工作的共同特点是，首先应用某种微分方程（两个实验室采用了不同的微分方程）进行推导和设计，然后再根据其设计去进行生物科学实验，如构造基因表达质粒，进行检测基因表达情况等。这些科学家认为：“这种‘网络的理性设计’可以导致新型的细胞工程和促进人们对自然界存在的调控网络的理解。”[2]
“万物皆数也”
数学常常被人视为工具。它的确也是非常有用的工具。但是，只要是作为工具，就具有可替换性。“条条道路通罗马”。工具就是道路，可以选择途径A，也可以选择途径B，只要能达到目的地就行。当然，有的可能是捷径，有的可能是弯路。但它们毕竟都不是唯一的。就如同过去的生命科学研究，没有数学也取得了不错的成绩。数学的应用显然会对现在和今后的生物学研究有帮助，但生物学家不用数学行不行呢？
人类对自然和生命的关注，通常体现在两个方面的问题：构成世间万物的本质是什么以及如何去认识和探寻这种本质。前一类问题是属于本体论，后一类问题则属于认识论。如果采用这样假设：生命的本质最终是体现在数学规律的构成上。那么，没有数学显然我们就不能真正和彻底地揭示出生命的本质。
DNA和蛋白质是两类最重要的生物大分子。它们通常都是由众多的基本元件（碱基、氨基酸）相互联结而成的长链分子。但是，它们的空间形状并非是一条平直的线条，而是一个规则的“螺旋管”。尽管在20世纪中叶人们就发现了DNA双螺旋和蛋白质α螺旋结构，但至今为止，人们还是难以解释，为什么大自然要选择“螺旋形”作为这些生物大分子的结构基础。
不久前，美国和意大利的一组科学家，利用离散几何的方法研究了致密线条的“最大包装”(Optimal
Packing)问题，得到的答案是，在一个体积一定的容器里，能够容纳的最长的线条的形状是螺旋形
[4]。研究者们意识到，“天然形成的蛋白质正是这样的几何形状”[4]。显然由此我们能够窥见生命选择了螺旋作为其空间结构基础的数学原因：在最小空间内容纳最长的分子。凡是熟悉分子生物学和细胞生物学的人都知道，生物大分子的包装是生命的一个必要过程。作为遗传物质载体的DNA，其线性长度远远大于容纳它的细胞核的直径。例如构成一条人染色体的DNA的长度是其细胞核的数千倍。因此通常都要对DNA链进行多次的折叠和包扎，使长约5厘米的DNA双螺旋链变成大约5微米的致密的染色体。由此我们可以认为，生命遵循“最大包装”的数学原理来构造自己的生物大分子。
细胞是生命的基本组成单元和功能单元。而细胞分裂（又称为细胞增殖）是细胞最基本和最重要的活动。完成一次细胞分裂的活动称为细胞周期。不同物种的细胞周期的时间长短是不一样的，有着严格的调控。那么，是什么构成了细胞周期的“时钟”？最近的研究表明，对于酵母细胞而言，一种细胞周期调控蛋白的磷酸化程度有可能被用作细胞周期运行的“时钟”。这种被称为Sicl的蛋白质上有9个位置可以被蛋白激酶CDK进行磷酸化。当它被加上第1个磷酸基因至第5个磷酸基团的时候，其分子的行为没有出现变化。但是，一旦被加上第6个磷酸基团时，它就可以和一种称为Cdc4的蛋白发生相互作用，然后被蛋白酶降解，从而导致细胞进入DNA合成期（S期），最后完成细胞分裂。研究者详尽而深入的工作揭示出，Sicl蛋白的每一次磷酸化都有助于与Cdc4的相互作用，但只有到第6次或6次以上，其结合力才达到与Cdc4稳固的结合。此外，如果给Sicl蛋白人为装上一段外源氨基酸肽段，一次磷酸化就能使Sicl与Cdc4结合并导致其降解，这时Sicl控制细胞周期时间的功能就会丧失[5]。这个研究成果很典型地揭示了细胞是如何通过数量的控制来实现其生命活动。
古希腊著名的数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)曾给后人留下过这样一个观点：“万物皆数也”。如果他的观点是正确的，作为大自然的杰作——生命，一定也是按照数学方式设计而成的。因此，数学不仅仅能够提升生命科学研究，使生命科学成为抽象的和定量的科学，而且是揭示生命奥秘的必由之路。
高代五种证明方法概说
五种高代方法概说
一. 标准型方法:
变换理论的两大方法之一。对于一个命题将它关联到一个变换理论,至于哪一种变换当然看命题里的量是否在该种变换下不变。
其方法分两步,先对标准型验证或证明命题成立,再用变换将命题推广到(过渡到)一般情形。
例子：1）正定矩阵有正定的平方根矩阵。
2）任一矩阵有列满秩阵与行满秩阵的乘积分解.
3）特征值互异的方阵Ａ,与Ａ交换的矩阵必然是Ａ的多项式。（它在相似变换下的标准型说法就是：当对角矩阵对角元素互相不同时，与它交换的矩阵只能是对角矩阵）
二 不变量方法
变换理论的两大方法之二。主要用于证明两个方阵可以或不可以相互变换。例如不相似、不合同,以及正定性判断,求特征值等。此外一些计算也常用不变量方法。
例如行列式等于特征值乘积,例如线性方程组有解等价于两个秩相等。
三 初等变换方法
要点是左行右列四个字---行变换行组合是在左边乘上变换阵组合系数阵,而列变换列组合是在右边乘。
例如:Ａ＋Ｂ＝Ｅｎ,则ＡＢ＝０当且仅当Ａ的秩加上Ｂ的秩等于ｎ。
四 选基底方法
高代中基底是表示线性(子)空间的方法。在教材中求极大无关组和求齐次线性方程组的基础解系都可理解为选基底。把矩阵相似对角化也可看成是选择由该矩阵的特征向量组成的基底。
有两种应用:
其一,计算维数或证明维数关系。选基底后维数、秩都成为基向量个数了,所以数一数个数就可以得到维数关系和秩关系。这个用法可概括成---选择基底使得维数、秩表示成了向量个数。
其二,选择基底可以得到坐标化,例如线性变换对应到了方阵,而抽象向量表示成了一个列矩阵,线性泛函表示成了行矩阵。这样给出了方阵理论与线性变换理论相互转化的方法。通常这方面选基底的方法是要选出最好的基底以便得到最好的坐标化,这与标准型方法是统一的。
例如：使得线性变换的矩阵是对角阵的基底正好是由线性变换的特征向量组成的基底。
五 扰动方法
主要用于从可逆方阵到不可逆方阵的过渡。
原理是:对任何一个ｎ阶方阵Ａ,
Ａ＋ｋＥ除了至多ｎ个数以外总是可逆的。所以一个公式如果对于可逆矩阵成立,且把可逆方阵代为Ａ＋ｋＥ时等式两边是ｋ的多项式,则可以令ｋ趋于０而得到对于不可逆方阵Ａ公式也成立。
例如对于伴随矩阵公式 （ＰＱ）* = Ｐ＊Ｑ＊　的处理，可以用扰动法。
具体的例子散见于论坛的各帖子中，或者搜索一下我发的所有帖子也可以。
过段时间可能就会没时间来发帖子了，加上考研将近，希望这个帖子能对大家有些裨益。
最后，将此帖送给听过我的课的学生们，希望他们考好。
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