设G是一个具有N个结点的简单无向图,N>=3,设G的结点表示N个人,G的边表示他们之间的友好关系,若两个结点被一条边连结,并且仅当对应的人是朋友.a) 结点的度数能做怎样的解释.b) G是连通图能做怎样的解释.c) 假定任意两人合起来认识所留下的N-2个人,证明N个人能站成一排,使得中间每个人两旁站着自己的朋友,而两端的两个人,他们每个人旁边只站着他的一个朋友.d) 证明对于N>=4,c)中的条件保证N个人能站成一圈,使每一个人的两旁站着自己的朋友
a)结点的度数表示结点对应的人所认识的朋友的数目.b)任何的两个人可以通过朋友的一次或多次介绍而相互认识.c)G=是一个有n(≥3)个结点的简单无向图,每一个结点表示一个人,两个结点相邻当且仅当对应的人是朋友.若任意两个人合起来认识剩下的n-2个人,表示对图G中任意两个结点u,v,有deg(u)+deg(v)≥n-2,且余下的n-2个结点必与u或v邻接.证明在这种条件下必有deg(u)+deg(v)≥n-1.（1）若u与v邻接,则deg(u)+deg(v)≥2+n-2=n>n-1.（2）若u与v不邻接,如果deg(u)+deg(v)≥n-2,而V-{u,v}中恰有n-2个结点(n-3,故V-{u,v}≠{φ},其中每一个结点只能与u,v中的一个结点相邻,设w与u相邻,w与v不相邻.此时对于结点u,w来说,都不与v相邻,这与假设矛盾.所以对于任意u,v必有deg(u)+deg(v)>n-2,即deg(u)+deg(v)≥n-1,故图G存在一条汉密尔顿路,于是n个人能站成一排,使得中间每个人两旁站者自己的朋友,而两端的两个人,他们每个人旁边站者他的一个朋友. d)由c)可知任一对结点u,v有deg(u)+deg(v)≥n-1,证明当n≥4时,有deg(u)+deg(v)≥n.当u和v相邻,有deg(u)+deg(v)≥n,当u和v不相邻,有deg(u)+deg(v)≥n-1,因为n≥4,在结点集V-{u,v}中至少有2个结点z和w,其中z和结点u和v相邻,而w只和u,v中1个相邻,假如和u相邻,此时结点u,w与结点v都不相邻,这与假设矛盾...所以任何结点u,v必有deg(u)+deg(v)≥n,故G存在1条汉密尔顿回路,所以,n个人能站成一圈,使每一个人的两旁站着自己的朋友.
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8.2 路径和回路
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求证：每个连通图G至少有两个顶点不是割点.证明：令u和v是在G中有最大距离的两顶点.又假定v是割点,则有一顶点w,它与u在G-v的不同的支中.从而v在每一条联结u和w的通路上,所以d(u,w)>d(u,v).这是不可能的,故顶点v,类似的顶点u,不是割点.根据定理（每个连通图G至少有两个顶点不是割点）和定理（设v是树T的一个顶点,则当且仅当deg v>1时,v才是T的割点）可以直接得出下面的推论,推论：每一棵树至少有两个度为1的顶点,且树中最长通路的起点和终点的度均为1.
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