数值分析 - 第5章
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数值分析 - 第5章
快速傅里叶变换
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20080份文档傅里叶变换窗函数，泄露，分辨率
&用窗函数分析信号，相当于将一个待分析信号x1通过一个传输函数为窗函数傅里叶变换的滤波器得到输出信号或分析信号y1（其实滤波器系数即窗函数的时域信号值）.信号分析有不同的目的。一是分辩出原来（周期）信号x1的频率，此时要求频率分辨率高；二是
以下红色部分摘自，感谢作者分享。
窗函数的选取是频率分辨率与频率泄露的折衷。（频率泄露少的含义是旁瓣能量小，即旁瓣波峰低，衰减速度快）降低旁瓣能量的代价是增加主瓣的宽度，从而降低了分辨率。
窗函数具有主瓣和旁瓣.
主瓣窄，频率分辨率高，主瓣宽，通带与阻带之间的过渡带宽；旁瓣波峰高，衰减速度慢，频谱泄露大，使得滤波器通带和阻带里的波动增大，影响输出信号的频率分析精度。
FFT算法引进了栅栏效应，截断引进了频率泄露。
每种窗函数有其自身的特性,不同的窗函数适用于不同的应用。要选择正确的窗函数,必须先估计信号的频谱成份。如若信号中有许多远离被测频率的强干扰频率分量,应选择旁瓣衰减速度较快的窗函数（强干扰意味着信号强，旁瓣一定要衰减快，使得强干扰处的频率乘以衰减后的旁瓣依然是一个很小的值，而第一个旁瓣值大不大都没关系）;如果强干扰频率分量紧邻被测频率时,应选择旁瓣峰值较小的窗函数（同理，要使得乘积小，必须使得主瓣临近的旁瓣小）;如果被测信号含有两个或两个以上的频率成份,应选用主瓣很窄的窗函数;如果是单一频率信号,且要求幅度精度较高,则推荐用宽主瓣的窗函数（此时主要是为了抵消fft算法带来的栅栏效应，比较宽的主瓣能使得fft在频域采样时采的更准确，因为此时主瓣很宽平，主瓣顶部可以看做不变）。对频带较宽或含有多个频率成份的信号则采用连续采样。
绝大多数应用采用汉宁（Hanning） 窗即可得到满意的结果,因为它具有较好的频率分辨率和抑制频谱泄漏的能力。
对频谱的理解：用不同的频率成分表示时域信号。采样时一般采不到整数倍的周期数，这会使得需要更多的频率成分来表示这个截取的信号。则会使得频域扩散到整个频域中。(时域有限的信号对应频域无限的频谱，这也是引入频谱泄露的原因)。即使是周期信号，截取后变成有限时域或者无限频域的信号，此时不管以多高的频率采样，都会在频域产生频域混叠。
截断会使谱分析精度受到影响。如果时域信号是周期性的，而截断又按整周期取数，信号截断不会产生问题，因为每周期信号都能代表整个周期信号变化情况。若不是整周期截取数据，则截断将使信号波形两端产生突变，所截取的一段信号与原信号有很大不同，对这个被截断的时域信号进行谱分析时，本来集中的线谱将分散在该线谱临近的频带内，产生原信号中不存在的新的频率成分，在频谱分析技术上称这种效应为泄露。意思是原先集中的频率信息泄露到旁边频段去了，影响谱分析的精度，并干扰对频谱的识别。如果时域信号是随机信号，截断的结果在原先连续谱上将出现皱纹，即皱波效应，同样会影响频谱图的识别。信号截断产生泄露的原因是信号失真。因为截断相当于用一矩形窗函数和信号相乘，根据卷积定理，其频谱为两个时间函数谱的卷积，即在相应频率处进行频谱相乘，由于矩形函数的频谱是一个带旁瓣的无限带宽的频谱（与基频对应的图形称为主瓣，与谐波频率对应的称旁瓣），所以其中的谱线便被扩展成矩形信号谱窗（sin(wt)形函数）的形状。为了减少泄露误差，除采用整周期截断外，主要是加窗的办法。
加窗的主导想法是用比较光滑的窗函数代替截取信号样本的矩形窗函数，也就是对截断的时序信号进行特定的不等加权，使被截断的
波形两端突变变得平滑些，以此压低谱窗的旁瓣。因为旁瓣泄露量最大，旁瓣小了泄露也相应减少了。用于信号处理的窗函数很多，
工程上常用的是矩形窗、汉宁窗、汉明窗、余弦窗等，各种窗的特点如下说明：
1矩形窗的特点是容易获得主瓣窄，但旁瓣大，尤其第一旁瓣太高，为主瓣的21%，所以泄露很大。
2汉宁窗（Hanning），旁瓣很小，且衰减很快，主瓣比矩形窗的主瓣宽，泄露比矩形窗小很多。
3汉明窗（Hamming），它由矩形窗和汉宁窗拼接而成，第一旁瓣很小，其它旁瓣衰减比汗宁窗慢，主瓣宽介于矩形窗和汉宁窗之间。
4高斯钟形窗只有主瓣没有旁瓣，主瓣宽太大，其形状可调，为减少泄露，应使高斯窗变瘦。
5余弦窗主瓣成三角形，旁瓣很小。
以下红色部分摘自/wz_42873.htm
频谱泄漏和窗函数
FFT分析中常常要用到窗函数。在基于FFT的测量中正确选择窗函数非常关键。频谱泄漏是由FFT算法中的假设造成的,FFT算法中假设离散时间序列可以精确地在整个时域进行周期延拓,所有包含该离散时间序列的信号为周期函数,周期与时间序列的长度相关。然而如果时间序列的长度不是信号周期的整数倍(fIN/fSAMPLE
( NWINDOW/NRECORD)
,假设条件即不成立,就会发生频谱泄漏。绝大多数情况下所处理的是一个未知的平稳信号,不能保证采样点数为周期的整数倍。频谱泄漏使给定频率分量的能量泄漏到相邻的频率点,从而在测量结果中引入误差。选择合适的窗函数可以减小频谱泄漏效应。
为进一步了解窗函数对频谱的影响,我们考察一下窗函数的频率特性。输入数据通过一个窗函数相当于原始数据的频谱与窗函数频谱的卷积。窗函数的频谱由一个主瓣和几个旁瓣组成,主瓣以时域信号的每个频率成份为中心。旁瓣在主瓣的两侧以一定的间隔衰减至零。FFT产生离散的频谱,出现在FFT每个谱线的是在每个谱线上的连续卷积频谱。如果原始信号的频谱成份与FFT中的谱线完全一致,这种情况下采样数据的长度为信号周期的整数倍,频谱中只有主瓣。没有出现旁瓣的原因是旁瓣正处在窗函数主瓣两侧采样频率间隔处的零分量点。如果时间序列的长度不是周期的整数倍,窗函数的连续频谱将偏离主瓣的中心,频率偏移量对应着信号频率和FFT频率分辨率的差异,这个偏移导致了频谱中出现旁瓣,所以,窗函数的旁瓣特性直接影响着各频谱分量向相邻频谱的泄漏宽度。
每种窗函数有其自身的特性,不同的窗函数适用于不同的应用。要选择正确的窗函数,必须先估计信号的频谱成份。如若信号中有许多远离被测频率的强干扰频率分量,应选择旁瓣衰减速度较快的窗函数;如果强干扰频率分量紧邻被测频率时,应选择旁瓣峰值较小的窗函数;如果被测信号含有两个或两个以上的频率成份,应选用主瓣很窄的窗函数;如果是单一频率信号,且要求幅度精度较高,则推荐用宽主瓣的窗函数。对频带较宽或含有多个频率成份的信号则采用连续采样。
绝大多数应用采用汉宁（Hanning） 窗即可得到满意的结果,因为它具有较好的频率分辨率和抑制频谱泄漏的能力。
以下资料参考中
一. 实验目的
掌握几种典型窗函数的性质、特点，比较几种典型的窗函数对信号频谱的影响。
2. 通过实验认识它们在克服 FFT
频谱分析的能量泄漏和栅栏效应误差中的作用，以便在实际工作中能根据具体情况正确选用窗函数
二. 实验原理
1. 信号的截断及能量泄漏效应
数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。
图6.1 信号的周期延拓
周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x(t)在时域分布为无限长(-
∞，∞)，当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号x[size=-2]T(t)
=x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱X(ω)是位于ω。处的δ函数，而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数，按照频域卷积定理，则截断信号x[size=-2]T(t)
的谱X[size=-2]T(ω) 应为：
将截断信号的谱X[size=-2]T(ω)与原始信号的谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。
信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。
如果增大截断长度T，即矩形窗口加宽，则窗谱
W(ω)将被压缩变窄（π／T减小）。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时，则谱窗W(ω)将变为δ(ω)函数，而δ(ω)与X(ω)的卷积仍为X(ω)，这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。
图6.2 信号截断与能量泄露现象
为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。
实际应用的窗函数，可分为以下主要类型：
幂窗--采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间（t）的高次幂；
三角函数窗--应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；
c) 指数窗--采用指数时间函数，如 形式，例如高斯窗等。
下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。
矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为:
相应的窗谱为：
矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。
图6.3 矩形窗的时域及频域波形
三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式，其定义为：
相应的窗谱为：
三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣，如图6.4所示。
图6.4 三角窗的时域及频域波形
c) 汉宁（Hanning）窗
汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：
相应的窗谱为：
由此式可以看出，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个
sine（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了
π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。可以看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。
d) 海明（Hamming）窗
海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：
其窗谱为：
海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一42dB．海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB／（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。
高斯窗是一种指数窗。其时域函数为：
式中a为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当，可以使截断点（T为有限值）处的函数值比较小，则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。高斯富谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低．高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。
不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的，但是我们可以通过选择不同的窗函数对它们的影响进行抑制。图6.5是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高。
图6.5 几种常用的窗函数的时域和频域波形
对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比
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