①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE ∠DBC=45°；④BE2=2（AD2 AB2），
其中结论正确的个数是（　　）


　
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4


考点：
全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

专题：
计算题．

分析：
①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；
②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD ∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE ∠DBC=45°，本选项正确；
④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．

解答：
解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC ∠CAD=∠DAE ∠CAD，即∠BAD=∠CAE，
∵在△BAD和△CAE中，

，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，本选项正确；
②∵△
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如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及PGPC的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及PGPC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．　
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方...”的分析与解答如下所示：
（1）可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP=PG，DH=GF=BG，那么可得出CH=CG，于是三角形CHG就是等腰三角形且CP是底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特点，即可得出CP=PG=PH，CP⊥PG；（2）方法同（1），只不过三角形CHG是个等腰三角形，且顶角为120°，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系；（3）经过（1）（2）的解题过程，我们要构建出以CP为底边中线的等腰三角形，那么可延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，那么根据前两问的解题过程，我们要求的是三角形CHG是个等腰三角形，关键是证三角形CDH和CBG全等，已知的只有CD=CB，我们可通过其他的全等三角形来得出三角形CDH和CBG全等的条件．三角形DHP和FGP中，有一组对顶角，DP=PF，HP=PG，那么这两个三角形就全等，可得出DH=GF=BG，∠HDP=∠GFP，根据平行线间的内错角相等可得出∠CDP=∠EFD，那么∠CDH=∠EFG=∠CBG，由此可得出三角形CDH和CBG全等，然后证法同（2）．
解：（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PGPC=1；（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PGPC=√3．证明：如图2，延长GP交DC于点H，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，由题意可知DC∥GF，∴∠GFP=∠HDP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GP=HP，GF=HD，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∴CG=CH，∴△CHG是等腰三角形，∴PG⊥PC，（三线合一）又∵∠ABC=∠BEF=60°，∴∠GCP=60°，∴PGPC=√3；（3）在（2）中得到的两个结论仍成立．证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，∵P是线段DF的中点，∴FP=DP，∵∠GPF=∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC=120°，∵四边形BEFG是菱形，∴GF=GB，∴HD=GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，即∠HCG=120°∵CH=CG，PH=PG，∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，∴PGPC=√3．即PG=√3PC．
本题主要考查了正方形，菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．
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如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问...
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经过分析，习题“如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方...”主要考察你对“全等三角形的判定与性质”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
与“如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方...”相似的题目：
如图，AB⊥BC，AE⊥DE，且AB=AE，∠ACB=∠ADE，∠ACD=∠ADC=50°，∠BAD=100°，则∠BAE=&&&&度．
小明在做作业时，不小心将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，．求证：BD=CE．”请你为本题设置一个条件，将它补充成一道完整的证明题；并证明它．&&&&
如图，已知AE=AC，AD=AB，∠EAD=∠CAB，求证：∠B=∠D．&&&&
“如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG...”的最新评论
该知识点好题
1如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是&&&&．（不再添加辅助线和字母）
2如图所示，△ABC中，AB=3，AC=7，则BC边上的中线AD的取值范围是&&&&
3如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则△ABC的周长是&&&&
该知识点易错题
1如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=DC，则下列结论中一定错误的是&&&&
2已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论中不正确的是&&&&
3如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是&&&&
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值（写出结论，不需要证明）；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及PG/PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．”相似的习题。（2006o北京）已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；
（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A′求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
（1）由于A、B、C三点的坐标已知，代入函数解析式中利用待定系数法就可以确定函数的解析式；
（2）若点D为线段OA的一个三等分点，那么根据已知条件可以确定D的坐标为（0，1）或，（0，2），而C的坐标已知，利用待定系数法就可以确定直线CD的解析式；
（3）如图，由题意，可得M（0，），点M关于x轴的对称点为M′（0，-），点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'（6，3），连接A'M'，根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长，根据待定系数法可求出直线A'M'的解析式为y=x-，从而求出E、F两点的坐标，再根据勾股定理可以求出A'M'=，也就求出了最短总路径的长．
解：（1）根据题意，c=3，
所以抛物线解析式为y=x2-x+3．
（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）．
设直线CD的解析式为y=kx+b．
当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为y=-x+1；（3分）
当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为y=-x+2．（4分）
（3）如图，由题意，可得M（0，）．
点M关于x轴的对称
点为M′（0，-），
点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A'（6，3）．
连接A'M'．
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A'M'的长就是所求点P运动的最短总路径的长．（5分）
所以A'M'与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点．
可求得直线A'M'的解析式为y=x-．
可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，）．（7分）
由勾股定理可求出．
所以点P运动的最短总路径（ME+EF+FA）的长为．（8分）&&评论 & 纠错 &&
同类试题1：如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD、BE．求证：CD=BE．证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AE=AD，∠DAE=∠CAB，∵∠DAE-∠CAE=∠CAB-∠CAE，∴∠DAC=∠EAB，在△ADC和△AEB中，AD=AE∠DAC=∠EABAB=AC∴△ADC≌△AEB．&&&&&&&&&&　　　∴CD=BE．
同类试题2：如图，等边△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC．求证：DE=DB．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=∠B=60°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCB，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，∵AB=AC，∴BD=CE，∴DE=DB．（2010o呼和浩特）如图，等边△ABC的边长为12cm，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=4cm，若点F从点B开始以2cm/s的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
（1）设△EGA的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（2）在点F运动过程中，试猜想△GFH的面积是否改变？若不变，求其值；若改变，请说明理由；
（3）请直接写出t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点．
（1）为了求出三角形的面积，我们要作高线．通过特殊角的三角函数求出此高，再利用三角形相似，用t表示出底．这样，这个三角形的面积就可用含t的代数式表示出来了．
（2）首先由两步相似，即△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，证得BF=CH，然后分三种情况：
①0＜t＜6时，②t=6时，③t＞6时；
在上述三种情况中，通过线段间的等量代换，都可证得FH=BC，因此△FHG、△ABC的面积相等，由于△ABC的面积是定值，所以△FHG的面积不变．
（3）分两种情况：①点F在线段BC上，②点F在BC的延长线上；可通过线段间的等量关系，求出BF的值，从而求得t的值．
解：（1）作EM⊥GA，垂足为M．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°．
∵GA∥BC，
∴∠MAE=60°．
∵AD=AE=4，
∴ME=AEosin60°=2，BD=AB-AD=8，
又GA∥BH，
∴△AGD∽△BFD，
又∵BF=2t，
（2）猜想：不变．
∵AG∥BC，
∴△AGD∽△BFD，△AGE∽△CHE，
情况①：0＜t＜6时，
∴BF+CF=CH+CF，
即：FH=BC；
情况②：t=6时，有FH=BC；
情况③：t＞6时，
∴BF-CF=CH-CF，
即：FH=BC．
∴S△GFH=S△ABC=36．
综上所述，当点F在运动过程中，△GFH的面积为36&cm2．
（3）∵BC=FH，∴BF=CH．
①当点F在线段BC边上时，若点F和点C是线段Bf的三等分点，则BF=FC=CH．
∵BC=12，∴BF=FC=6，
又∵点F的运动速度为2cm/s，
∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点；
②当点F在BC的延长线上时，若点F和点C是BH的三等分点，则BC=CF=FH．
∵BC=12，∴CF=12，∴BF=24，
又∵点F的运动速度为2 cm/s，
∴当t=12时，点F和点C是线段BH的三等分点；
综上可知：当t=3s或12s时，点F和点C是线段BH的三等分点．}