2010届江苏省高三数学综合练习三(含答案)_中华文本库
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17．（本小题满分15分）已知二次函数f(x)?ax2?bx?c（a?0,c?0）的图像与x轴有两个不同的交点，且f(c)?0，当0?x?c时恒有f(x)?0．
（1）、当a?1,c?1时，解不等式f(x)?0；（2）、比较与c的大小；
19．（本小题满分16分）十七届三中全会于08年10月初在北京召开。国家为了更好地服务于农民、开展
社会主义新农村工作，派调查组到农村某地区考察。该地区有100户农民，且都从事蔬菜种植。据了解，平均每户的年收入为3万元。为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事蔬菜加工。据估计，若能动员x(x?0)户农民从事蔬菜加工，则剩下的继续从事蔬菜种植的农民平均每户的年收入有望提高
2x％，而从事蔬菜加工的农民平均每户的年收入将为3(a?
),(a?0)万元。
（3）、若以二次函数的图像与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围．
18． （本小题满分15分）如图，已知椭圆C:
?1(a?b?0)的左顶点，右焦点分别为A,F，右
准线为m。圆D：x?y?x?3y?2?0。 （Ⅰ）若圆D过A,F两点，求椭圆C的方程； （Ⅱ）若直线m上不存在点Q，使?AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。 （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转直线l上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。
（1）在动员x户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的总年收入不低于动员前所有从事蔬菜种植的农民的总年收入，求x的取值范围
（2）在（1）的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工的农民的总年收入始终不高于从事蔬菜种植的农民的总年收入，求a的最大值。
20. （本小题满分16分）已知数列?an?的各项均为正数，它的前n项和Sn满足Sn
a2,a4,a9成等比数列.
(an?1)(an?2)
得直线l，动点P在
（1）求数列?an?的通项公式；（2）设bn
为数列?bn?的前n项和，求T2n.
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　　上海中学高三数学综合练习（一）&
班级___________学号__________姓名_______________成绩_________________&
一．&　　填空题&
1．&　　定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)&=___________.&
2．&　　如果复数（）的实部和虚部互为相反数，则b等于_____________.&
　　3．(理)&若展开式中含项的系数等于含x项的系数的8倍，则n=______.&
　　(文)&若，则目标函数的最小值为_______________.&
　　4．已知，则关于x的不等式的解集为__________________.&
　　5．点P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限内时，P点的纵坐标为_____________.&
　　6．数列{an}满足：an=&，它的前n项和记为Sn，则Sn=__________.&
　　7．某市为加强城市圈的建设，计划对周边如图所示的A、B、&
　　C、D、E、F、G、H八个中小城市进行综合规划治理，第&&
　　一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市，但要求没&
　　有任何两个城市相邻，则城市A被选中的概率为________.&
　　8．若方程仅有一个实数根，则k的取值范围是______________.&
9．&　　在△ABC中，已知|AB|=2，，则△ABC面积的最大值为___________.&
　　10．如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，&
　　SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体.&
　　11．若函数y=ax(a&1)和它的反函数的图像与函数y=的图像分别交于点A、B，若|AB|=，则a约等于_____________(精确到0.1).&
　　12．老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为_______________________________.&
　　（用O,A,B,C四个点所构成的向量和角A,B,C的三角函数以及表示）&
　　二．选择题&
　　13．若函数y＝cos2x与y＝sin(x＋φ)在[0，2(π)]上的单调性相同，则φ的一个值为(&&&&&)&
　　A.&6(π)&&&&&&&&&B.&4(π)&&&&&&&&&C.&3(π)&&&&&&&&&&D.&2(π)&
　　14．在ABC中，A=，BC=3，则ABC的周长为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(&&&&&)&
　　A.4sin(B+)+3&&&&&&B.&4sin(B+)+3&&
　　C.6sin(B+)+3&&&&&&&&&D.&6sin(B+)+3&
　　15．若点M(a,)和N(b,)都在直线l：x+y=1上，则点P(c,)，Q(,b)和l&的关系是&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(&&&&&)&
　　A.&P和Q&都在l上&&&&&&&&&&&B.&P和Q&都不在l上&
　　C.&P在l上，Q不在l上&&&&&&&D.&P不在l上，Q在l上&
　　16．数列{an}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立，则的值为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(&&&&&)&
　　A.&5032&&&&&&&&B.&5044&&&&&&&&C.&5048&&&&&&&&D.&5050&
　　三．解答题&
　　1．已知函数的最小正周期为π，且
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高中数学试题
高中数学数学归纳法综合测试题（带答案）
选修2-2& 2. 3 归纳法
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋&＋12n－1&n(n&N*，n&1)时，第一步应验证不等式(　　)
A．1＋12&2　　　　　　
B．1＋12＋13＜2
C．1＋12＋13＜3&
D．1＋12＋13＋14＜3
[解析]　∵n&N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.
2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋&＋an＋1＝1－an＋21－a(n&N*，a&1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　)
B．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
[解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.
3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋&＋12n(n&N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)
A.12n＋1& B.12n＋2
C.12n＋1＋12n＋2& D.12n＋1－12n＋2
[解析]　f(n＋1)－f(n)
＝1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋&＋12n＋12n＋1＋12(n＋1)
－1n＋1＋1n＋2＋&＋12n＝12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1
＝12n＋1－12n＋2.
4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k&N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
[解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.
5．用数学归纳法证明命题&当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除&，在第二步的证明时，正确的证法是(　　)
A．假设n＝k(k&N*)，证明n＝k＋1时命题也成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立
C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立
D．假设n＝2k＋1(k&N)，证明n＝k＋1时命题也成立
[解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.
6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)
A．f(n)＋n＋1&
B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1&
D．f(n)＋n－2
[解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.
7．用数学归纳法证明&对一切n&N*，都有2n&n2－2&这一命题，证明过程中应验证(　　)
A．n＝1时命题成立
B．n＝1，n＝2时命题成立
C．n＝3时命题成立
D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立
[解析]　假设n＝k时不等式成立，即2k&k2－2，
当n＝k＋1时2k＋1＝2&2k&2(k2－2)
由2(k2－2)&(k－1)2－4&hAk2－2k－3&0
&hA(k＋1)(k－3)&0&rAk&3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.
8．已知f(n)＝(2n＋7)&3n＋9，存在自然数m，使得对任意n&N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　)
[解析]　因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3&36，f(3)＝360＝10&36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.
9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n&2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　)
A.2(n＋1)2&
B.2n(n＋1)
[解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝nn＋2an　(n&2)．
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝13
a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.
由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110
猜想an＝2n(n＋1)，故选B.
10．对于不等式n2＋n&n＋1(n&N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，12＋1&1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k&N＋)时，不等式成立，即k2＋k&k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2&(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，
∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　)
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
[解析]　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
二、填空题
11．用数学归纳法证明&2n＋1&n2＋n＋2(n&N*)&时，第一步的验证为________．
[答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左&右，不等式成立
[解析]　当n＝1时，左&右，不等式成立，
∵n&N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．
12．已知数列11&2，12&3，13&4，&，1n(n＋1)，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测Sn＝________.
[答案]　nn＋1
[解析]　解法1：通过计算易得答案．
解法2：Sn＝11&2＋12&3＋13&4＋&＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋13－14＋&＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1.
13．对任意n&N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
[解析]　当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
14．用数学归纳法证明命题：1&4＋2&7＋3&10＋&＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.
(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．
(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．
(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．
[答案]　(1)1；1&(3&1＋1)；1&(1＋1)2；k；
(k－1)[3(k－1)＋1]
(2)1&4＋2&7＋3&10＋&＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2
(3)1&4＋2&7＋&＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1]
[解析]　由数学归纳法的法则易知．
三、解答题
15．求证：12－22＋32－42＋&＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n&N*)．
[证明]　①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋&＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋&＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n&N*都成立．
16．求证：12＋13＋14＋&＋12n－1&n－22(n&2)．
[证明]　①当n＝2时，左＝12&0＝右，
∴不等式成立．
②假设当n＝k(k&2，k&N*)时，不等式成立．
即12＋13＋&＋12k－1&k－22成立．
那么n＝k＋1时，12＋13＋&＋12k－1
＋12k－1＋1＋&＋12k－1＋2k－1
&k－22＋12k－1＋1＋&＋12k&k－22＋12k＋12k＋&＋12k
＝k－22＋2k－12k＝(k＋1)－22，
∴当n＝k＋1时，不等式成立．
据①②可知，不等式对一切n&N*且n&2时成立．
17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．
求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．
[证明]　(1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．
(2)假设当n＝k(k&2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．
当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．
从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝(k＋1)2＋(k＋1)＋22块区域．
所以n＝k＋1时命题也成立．
由(1)(2)可知，原命题成立．
18．(2010&衡水检测)试比较2n＋2与n2的大小(n&N*)，并用数学归纳法证明你的结论．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；
②利用数学归纳法证明猜想的结论．
解答本题的关键是先利用特殊值猜想．
[解析]　当n＝1时，21＋2＝4&n2＝1，
当n＝2时，22＋2＝6&n2＝4，
当n＝3时，23＋2＝10&n2＝9，
当n＝4时，24＋2＝18&n2＝16，
由此可以猜想，
2n＋2&n2(n&N*)成立
下面用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，
左边＝21＋2＝4，右边＝1，
所以左边&右边，
所以原不等式成立．
当n＝2时，左边＝22＋2＝6，
右边＝22＝4，所以左边&右边；
当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，
所以左边&右边．
(2)假设n＝k时(k&3且k&N*)时，不等式成立，
即2k＋2&k2.那么n＝k＋1时，
2k＋1＋2＝2&2k＋2＝2(2k＋2)－2&2&k2－2.
又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3
＝(k－3)(k＋1)&0，
即2k2－2&(k＋1)2，故2k＋1＋2&(k＋1)2成立．
根据(1)和(2)，原不等式对于任何n&N*都成立．
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