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你可能喜欢动态数学—樟树中学徐彩刚工作室
当前位置：&&
“几何概型”中的等可能性
上传: 陈志斌 &&&&更新时间： 9:25:34
& ●教学设计
&&&&&&&&&几何概型&中的等可能性
&&&&&&&&&&&&&&&&&&一堂&几何概型&复习课教后感
几何概型是在古典概型基础上进一步的发展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸。几何概型的基本特点是：在每次随机试验中，不同的试验结果有无限多个，即基本事件有无限个；在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件是等可能的。几何概型与古典概型的区别在于：几何概型是无限个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限个。笔者通过分析两个简单的几何概型的例子入手引出几何概型的计算方法。并安排了两个例题、六个变式，分别从一维的长度，二维的面积作为测度进行分析。
&&一、创设情景，引入新课
【问题1】&&取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于10cm的概率有多大？
分析1:在问题1中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3cm的绳子上的任意一点。
如上图,记&剪得两段绳子的长度都不小于1cm&为事件a,把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件a发生。由于中间一段落的长度等于绳子长的,于是事件a发生的概率。
问题2】&&射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，
从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。
金色靶心叫&黄心&。奥运会的比赛靶面直径为
122cm，靶心直径为12.2cm，运动员在70m外射。
假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是
等可能的，那么射中黄心的概率有多大？&
分析2:在问题2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点。
如图,记&射中黄心&为事件b,由于中靶点随机地落在面积为的大圆内,而当中靶点落在面积为的黄心内时,事件b发生,于是事件b发生的概率为p(b)=
归纳:在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的&等可能性&还存在着,但是显然不能用古典概型的方法求解。那怎样处理呢?
&&&&二、数学建构
几何概型的定义：&如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。在几何概型中，事件a的概率的计算公式如下：&(长度、面积或体积)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个；它的特点是试验结果在一个区域内均匀分布。
&因此，几何概型的教学要突出两点：(1)事件a发生与哪些点对应；(2)求出这些点的区域的测度（长度、面积或体积）与全部结果构成区域的测度之比。尤其要强调&对应点&的思想。对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一个点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。这里的区域可以是线段,平面图形,立体图形等。
&&&&&三、数学应用　
&&题型一：与长度（或角度）有关的几何概型
例1、&在等腰直角的斜边ab上任取一点m，求am的长小于
ac的概率。&
解析：在斜边ab上截取ac&=ac，
则&p(am＜ac)=p(am＜ac&)=&
&&[变式1]&&在rt中，&a=30&,过直角顶点c作射线cm交线段ab于m，求使am＞ac的概率。
骆华明同学板演：
解：在斜边ab上截取ac&=ac,&则p(am＞ac)
=p(am＞ac&)=
老师：这两道题非常相似，我们一起来评论一下骆华明同学的解法是否正确。
（学生展开讨论，&正确&与&不正确&两组答案争得面红耳赤。）
老师启发：大家再仔细研读一下题目，看看这两道题的条件有什么差异？
（经过一段时间沉默和计算后。）
盛鹤山同学：[变式1]中是直接在斜边bc上任意取点，有无数多种取法，且每个点被取到的可能性都相同。而[变式2]中是过直角顶点c作射线cm交斜边bc于点m。射线cm是任意作的，有无数多种作法，且每条射线出现的可能性都相同；但当射线cm落在&acb内任意位置是等可能时，点m落在斜边ab上不是等可能的。
老师追问：为什么不是等可能的？能否加以解释？
一段沉默后,黄黎明同学：如当&acm匀速由0&增大到45&,与由45&增大到90&时，m在斜边上移动的距离不相同。
老师再追问：为什么不同？
大家异口同声：因为当&acm=45&时，m不是斜边ab的中点。
老师：非常不错！那这道题应以什么为测度考虑才比较合理？下面谁来给出这道题的正确解法？
黄黎明同学跃跃欲试，上来板演：
解：当am=ac时，&acm&&当am＞ac时,&射线cm落在图中
&bcc&内。∴p(am＞ac)=&&&&&&
评注：几何概型概率公式中的&测度&，既包含长度，也包含角度、面积、体积等，而且这个测度只与&大小&有关，而与形状和位置无关。
[变式2]&&如图，已知等腰直角中，，在内作射线am，求的概率．
不少学生给出了下列解决问题的思路：在线段cb上截取cm1，使得，当点m位于线段cm1内时，&，故的概率为．
学生的理由是线段cb上的点m与过顶点ａ在&cab内部作的射线am是一一对应的，这种认识在很大程度上影响了学生对等可能性的理解．为此，我利用《几何画板》软件设计了一个动画，如下图，以a为圆心，&ab为半径作出过b的圆弧,设与ac延长线交于点d．设射线am与该圆弧的交点为p，双击动画按钮，当点p在圆弧bd上匀速运动时，射线ａm在&cab内部作匀速运动,而点m在线段cb上作变速运动，近d点快，近b点慢．这表明，当射线am在&acb内部等可能分布时,相应的点m并不是等可能地分布在线段上．事实上，如图，设p1、p2为弧bd的两个三等分点，连接ap1、ap2分别交线段cb于m1、m2，不难计算cm2&m2m1&m1b．
通过动画演示及理论探讨,使学生再次直观又理性地认识到几何概型中的等可能性。
[变式3]&&如图所示：a是圆上固定一点，在圆上其它位置上任取一点a&,&连接aa&,它是一条弦，求它的长度大于等于半径长的概率。
吴方琪同学板演：
解：由弦长aa&&2r&&,得&&p(aa&&r)=
老师：我们同样来评论一下吴方琪同学的解法？
（教室里再次一片哗然！）
老师再次启发：注意审清题意！
刘莉同学：由于题中是在圆上任意取点，所以每个点被取到的可能性是相同的。但当点被取到的可能性相同时，对应弦长出现的可能性并不相同!
老师：举例说明！
刘继续：如弦长aa&=r、1.5r&&等的点出现了两次，而弦长aa&=0、2r的点只出现了一次。所以当点是等可能取时，对应弦长并不是等可能出现的。反之，当弦长aa&在圆内的变化是等可能时，点a&落在圆上的可能性又不同。如：弦长由0匀速增到r与由r增到2r时，点a&不是等可能出现。
老师：很好，那应以什么为测度来计算其概率呢？
刘莉同学板演：
解：在圆上取两点a1、a2，使a&a1=aa2=r，则p（aa&&r）=弧长a1a2&/圆的周长=
老师：很好！（停顿片刻）但大家注意到没有，这个概率就是两角度之比，这一点又如何解释呢？
饶夏伟同学：这点说明，该概率也可以以角度为测度来计算。
老师：以哪个角为测度来计算？
饶夏伟同学：当在圆上任取点a&时，圆心角&aoa&也是随点a&等可能出现的，所以可以以圆心角&aoa&为测度来计算。
老师：很好！
此时，吴方琪同学举手提问：如把题中的圆改为半圆，则弦长与点一一对应,此时用弦长之比行不行？
[变式4]&&如图所示，a是半圆直径一端点，在半圆上其它位置任取一点a&，连接aa&，它是一条弦，求它的长度不小于半径的概率。
请吴方琪同学板演：
解：p（aa&&r）=.
老师：下面请大家也用[变式3]中的方法，分别以
弧长和角度为测度求其概率。
解法一：以弧长为测度，得p（aa&&r）＝.
解法二：以角度为测度，得p（aa&&r）＝.
设问：（1）比较上述方法，将圆改为半圆后，用弦长之比求概率是否正确？为什么？
&&&&&（2）将圆改为半圆后，为什么所得概率还是？
共同释疑：
（1）不正确。虽然此时每条弦长对应的点只有一个，但弦长等可能时，点不是等可能的。（同[变式3]）
（2）将圆改为半圆后，试验总的结果数与事件包含的结果数都减半，但其比值不变，故概率不变。
题型二：与面积（或体积）有关的几何概型
例2.&平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意抛掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（&&&）
a．&&&&&&&&b.&&&&&&&c.&&&&&&&&&d.&
考虑圆心应落在两平行线间，且平行于该组平行线，宽度为1cm的条形区域内，以面积为测度，所以概率p=,选b
[变式1]&街道旁边有一游戏：在铺满边长为9cm的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1cm的小圆板。规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边上，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱。试问：
（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？
（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？
不少学生给出这样的解法:取其中一格
（如图），&硬板与格线有公共点&记为事件a，
由于硬板随机地落在网格上，故硬板落在网格上任
一位置是等可能的，可将正方形看作区域d．把正方形的各边向内缩2cm，得到一个边长为5cm的小正方形，当硬板落在小正方形外时，事件a发生。
故阴影区域即为区域d，于是p(a)=&=．
上述错误的原因在于没有理解几何概型中&对应点&的思
想由于硬板的直径一定，硬板与硬板中心对应，而且硬板
对硬板中心是等可能的，故可以根据硬板中心o的位置确
定硬板与正方形网格线的位置关系，把正方形的各边向内
缩1cm，得到一个边长为7cm的小正方形，事件a发生，则圆心o落在如图所示的阴影区域内。所以概率为p=
（2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的圆内。
因正方形有四个顶点，所以概率为
评注:&&几何概型教学要抓住&等可能&!教学中我们发现,学生在把事件空间转化为与之对应的区域时，常常构造出错误的几何区域，就是因为没有抓住几何概型中的等可能性,应引起我们足够的重视。
&[变式2]甲、乙两人相约在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
解析：以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地
点的时间，则两人能够会面的充要条件是，
在直角坐标系中，的所有可能结果是边
长为60的正方形区域，而事件a&两人能会
面&的可能结果由图中阴影部分表示。由于两
人出发是各自独立的，在这段时间各时刻相见
的可能性相等。所以由几何概率的概率公式得：，所以两人能会面的概率为。
评注：本题的难点是把两个时间分别用x、y两个坐标表示，构成平面内的点（x、y）从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题，进而化为面积型几何概率问题。
四、课堂小结&
1.古典概型与几何概型的区别。
相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。&
2.几何概型的概率公式
3.几何概型问题的概率的求解。
五、作业布置
讲义：p173&&1、3、6、8、9
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文明上网,理智发言甲乙两人约定6时到7时之间在某处会面 并约定先到者等候另一个人15分钟 过时即可离去 求两人能会面的概率_百度作业帮
甲乙两人约定6时到7时之间在某处会面 并约定先到者等候另一个人15分钟 过时即可离去 求两人能会面的概率
我只是高中生,算不了那么多,不过踩踩还是可以滴吧?因为两人谁先到,谁后到,几点到,是相互独立事件,互补影响,两人会面的概率就是“会面”除以“会面的概率”+“没有会面的概率”,50%,我乱猜的我形我数--高中数学刘烈庆工作室
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高中数学新课程必修3教学的体会与经验
上传: 冯万恩 &&&&更新时间： 20:04:04
&本文《高中数学新课程必修3教学的体会与经验》分为三个版块：一是高中数学新课程必修3的教学体会与教学反思；二是对高中数学新课程必修3教学的几点看法；三是高中新课标数学必修3与必修4的教学体会。一、高中数学新课程必修3的教学体会与教学反思&&数学教学反思是指数学教师对数学教学活动的反思，通过反思可以发现新问题，进一步激发教师的责任心，把教学实践提高到新的高度，也是教师专业发展和自我成长的核心因素。在必修3的教学的过程中，有许多发现和感触，非常值得反思。下面对数学必修3的教学谈谈体会。1.1、课程安排.⑴第一章算法初步，约 12 课时。⑵第二章统计，约 16 时。⑶第三章概率，约 8 课时。 && 1.2、教学建议.⑴关于算法。每一个问题的解决都对应着一个算法，研究问题的解决方法就是研究算法。对学生来说，数学中义务教育阶段学习一元二次方程的解法，求三角形面积公式，数学1中方程求根的二分法，数学2中利用公式计算的几何问题进行分步求解，数学5中数列计算等都是算法。①数学3中要对一些数学实例集中分析、设计、表述解决问题的过程，体验算法思想，培养有条理地思考及表达能力，提高逻辑思维能力。注意不要讲成计算机的程序课。②教材中的语句形式及程序稍加修改就可以变为计算机上可执行的程序，如果能上机，算法设计的整个过程就可以得到完整的体现，就可以及时地看到自己设计的算法的可行性、有效性，这不但可以很好地激发兴趣，而且还能提高学习效率。 && ⑵关于统计。统计的教学中应引导学生体会统计的作用和基本思想。统计的一个重要思想就是利用样本的信息来推测总体的有关信息，主要表现在：①会用样本的频率分布估计总体分布。②会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，比如数学期望、方差等。③为选修2-3的教学做好铺垫。 && &⑶关于概率。古典概型、几何概型是简单的概率模型。在教学时，①教师要引导学生通过具体的实例理解古典概型的特征&&试验的所有可能结果只有有限个，每个结果出现的可能性相同。②几何概型的特征&&试验的可能结果无限个，每个结果出现的可能性相同。 && &1.3、教学策略与设计.⑴站在高处，控制难度。算法是数学及其应用的重要组成部分。是计算科学的基础，是连接解决问题的方法和计算机程序语言的桥梁，是现代人必须具有的数学素养。通过本章学习，应初步掌握算法分析和程序设计，会用自然语言、程序框图、基本算法语句表达算法，体会算法思想，发展有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力。作为从重理论向重应用的新教材改革，算法在我市的首次新教材高考必有体现。因此，教师理应站在高考的高度去把握教材，着眼于未来的角度去理解教材，全面了解其它各省市2007年以来新教材高考中的算法题型（本文中略）。我们的分析提示是：高考考点:程序框图、算法、基本语句程序易错提醒:循环结构中用好控制变量复习提示:算法作为新课标中的一种新的内容,在今后高考试题中应有体现,结合数列、不等式、函数等知识会有更多的命题空间。当然，首次高考中份量和难度会严格控制，教材本身的要求也希望教师在教学中重视基本，控制难度，讲清基本原型，学会条理表达，使学生能够简单的模拟运行。⑵依据课本，讲清原型。①充分利用好教材中的原型实例讲清基本概念，增加学生第一次感知的效果对新教材的概念型教学很有必要。比如，算法的起始课用好如下的例子进行教学，对学生尽快地理解算法的概念与含义会有很好的效果。 &&& ②思考与回答：两个大人和两名儿童一起渡河，渡口只有一条小船，一次只能渡过一个大人或两名儿童，他们四人都会划船，但都不会游泳。请你帮他们设计一个渡河方案。 && ⅰ学生经过思考会很快给出如下方案：第一步：两个小孩同船渡过河去；第二步：一个小孩划船回来；第三步：一个大人独自划船渡过河去；第四步：对岸的小孩划船回来；第五步：两个小孩再同船渡过河去；第六步：一个小孩划船回来；第七步：余下的一个大人独自划船渡过河去；第八步：对岸的小孩划船回来；第九步：两个小孩再同船渡过河去。 &&& ⅱ由此概括出我们所要讲的算法概念：一般地，按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法。它是解决某一类问题的程序或步骤。 &&& ③设计算法注意5个事项:ⅰ认真分析,联系解决此问题的一般数学方法。ⅱ综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况。ⅲ借助有关的变量或参数对算法加以表达。ⅳ将解决问题的过程划分为若干个步骤。ⅴ用简练的语言将各个步骤表达出来。 &&& ④算法的基本特征有四个:ⅰ明确性。算法对每一个步骤来说都有确切的,能有效执行且得到确定结果的,不能模棱两可。ⅱ有限性。算法应由有限步组成,至少对某些输入、算法应在有限多步内结束,并给出计算结果。ⅲ有序性。算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一步都只能有一个确定的继任者,只有执行完前一步才能进入到后一步,并且每一步都确定无误后,才能解决问题。ⅳ唯一性。求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于同一个问题可以有不同的解法。 &&&& ⑤还可配合教学进行如下的课堂练习： &&& ⅰ任意给定一个正实数,设计一个算法，求以这个数为半径的圆的面积。答案：第一步:输入任意一个正实数r；第二步:计算圆的面积: S=&r2;第三步:输出圆的面积S。 &&& ⅱ你要乘火车去外地办一件急事,请你写出从自己房间出发到坐在车厢内的三步主要算法。答案：第一步:去车站；第二步:买车票;第三步:凭票上车对号入座。 &&& ⅲ任意给定一个大于1的正整数n,设计一个算法，求出n的所有因数。答案：第一步：依次以2～(n-1)为除数去除n,检查余数是否为0,若是,则是n的因数;若不是,则不是n的因数。第二步：在n的因数中加入1和n。第三步：输出n的所有因数。 &&& ⅳ在中央电视台幸运52节目中,有一个猜商品价格的环节,竟猜者如在规定的时间内大体猜出某种商品的价格,就可获得该件商品。现有一商品,价格在0-8000元之间,采取怎样的策略才能在短的时间内说出正确(大体上)的答案呢?答案：第一步:报&4000&；第二步:若主持人说&高了&(说明答案在0&4000之间),就报&2000&,否则(答数在之间)报&6000&；第三步:重复第二步的报数方法取中间数,直至得到正确结果。⑶确立目标，把握重心。教师只有在深入理解教材的基础上才能准确制定教学的目标，把握教学的重心。本册教材以下教学目标及重心可供参考： &&& ①算法教学目标。 &&& ⅰ课程目标：初步建立算法的概念，让学生通过丰富的实例了解算法的含义，学习用算法步骤和程序框图表达算法的方法，初步感受算法的思想。 &&& ⅱ重点：算法的含义，算法的三种基本逻辑结构，算法步骤、程序框图，算法思想。 &&& ⅲ难点：表示算法步骤，循环结构（程序步骤、框图、语句），程序框图的画法，程序框图转化为算法语句程序。 &&& ⅳ学习目标 &&& a算法与程序框图：一是通过对解决具体问题过程与步骤的分析了解算法的含义，体会算法思想。二是通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在解决具体问题的过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 &&& b基本算法语句：经历将具体问题的程序框图转化为程序语言的过程，理解几种基本算法语句&&输入、输出、赋值、条件、循环语句的含义，进一步体会算法的基本思想。 &&& c算法案例：通过阅读中国古代数学中的算法案例，理解其中所包含的算法思想，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。 &&& ②统计教学目标。 &&& ⅰ知识目标。 &&& a理解随机抽样的意义和方法，会用简单随机抽样从总体中抽取样本。 &&& b体会用样本估计总体的思想，理解样本估计总体的合理性，会用样本的频率分布、数字特征估计总体的基本数字特征。 && c了解现实问题中变量的相关性，了解最小二乘法的思想，能根据给出的公式建立简单的线性回归方程。 &&& ⅱ能力目标. &&& a培养学生搜集、分析、计算和整理数据的能力（如计算器和计算机计算）。 &&& b培养探索研究问题的能力和应用所学知识解决实际问题的能力。领会统计知识在实际生活中应用。 && ⅲ情感目标.通过学习使学生享受到成功的喜悦，激发学生学习数学的兴趣，并培养学生喜爱质疑、乐于探索、努力求知的良好品质，以及实事求是、为实践服务的科学态度。 && ③概率教学目标.ⅰ概率教学目标.a了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别。 &&& b了解互斥事件概率的加法公式。 &&& c理解古典概型及其概率计算公式。 &&& d了解随机数的意义，能用模拟方法估算概率，初步体会几何概型的意义。 && e通过阅读思考栏目，加深对随机现象的理解。 && ⅱ概率教学提示. && a注意搞清易混知识、概念间的区别和联系。 && b立足于基础知识、基本方法、基本问题的学习，弄清课本的例题和习题。 && c适度拓展，为今后分布列学习打基础。 & d培养分析、归纳能力。 & ④教材中的一些重心点. & ⅰ条件结构中的三数排序与解方程。 &&& ⅱ循环结构中的数列和与二分法。 &&& ⅲ体现思想方法的秦九韶算法与进位制。 && ⅳ统计中的抽样与估计。 && ⅴ古典概型中的抛硬币掷骰子验产品。 && ⅵ几何概型中的面积型与随机模拟。⑷关注结构，重视训练。把握好整体知识结构利于&居高临下&，训练好每一个节点利于&由点到面&。这在教与学的过程中，会有一个不断的&压缩&和&解压缩&的过程，正是这种过程使得学生得以巩固和提高。算法部分概括如下（框图略） && ①全章知识&一、三、五&（浓缩）. &&& ⅰ一个算法：定义。 &&& ⅱ三种结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 &&& ⅲ五条语句：输入语句、输出语句、条件语句、循环语句、赋值语句。 && ②主干知识一条线（知识链）. && ⅰ算法步骤(日常语言)&&&&& 程序框图(框图语言) &&&& ⅱ算法(语言)程序(类计算机语言)。 && ③核心知识点到面（知识与方法的网络）。 &&ⅰ本章知识是围绕算法而展开的，其关键的点位有：算法的概念、算法的基本逻辑结构、算法的表述、算法案例。核心是算法思想，由此可辐射到其它知识。 && ⅱ三种抽样方法的特点及适用范围可归纳如下：a概率知识结构图.b统计知识结构图.⑸归纳类比，探究拓展。这显然是教学的较高层次。教师引导学生进行合理的归纳类比探究拓展，对掌握宏观结构、提升思维品质、培养能力非常重要，也是对教师教学能力的一种考验。例如，第一章算法部分的教学可进行如下归纳类比和探究拓展： && ①函数类程序可归纳为:ⅰ输入自变量，列出函数式；ⅱ用好自变量的条件；ⅲ输出函数值。 && ②方程与不等式类程序可归纳为：ⅰ输入系数；ⅱ进行运算；ⅲ输出结果。 && ③循环执行与数列类程序可归纳为:ⅰ注意初始赋值与输入一个值的区别；ⅱ确定循环体；ⅲ选好执行(或结束)循环体的条件；ⅳ注意两种循环结构。 && ④思维的探究拓展：可针对教材中的典型例题重要环节引导学生进行探究拓展。例如对&写出求1+2+3+‥‥‥+100的一个算法&进行以下不同算法的探究，可大大丰富学生的思维与想象力。 & ⅰ算法1：第一步：将原式变形为(1+100)+(2+99)+‥‥‥+(50+51);第二步：计算101&50；第三步：写出运算结果。 & ⅱ算法2：第一步：取n=100；第二步：计算s=n(n+1)/2；第三步：写出运算结果s。 & ⅲ算法3：第一步：令i=1,S=0；第二步：若i&n成立，则执行第三步;否则，输出S，结束算法。第三步：S=S+i；第四步：i=i+1，返回第二步。 && ⅳ点评:解法1繁琐，需重组数据；解法2简单，需求和公式；解法3利于计算机执行；找出好的算法是我们的追求目标。 & ⅴ还可针对求和S=1+2+3+&&+100框图尝试进行多变式的探究: (a)i、s的初始值对和式的影响；(b)将i&100换成i&n?换成i&n?& (c)改变循环体中的代数式，有什么新结论产生吗？ &&&& ⑤当然，对本册教材的各部内容都可进行尝试探究式的教学，本文只点及部分内容，只是想起到抛砖引玉的作用，其它不再赘述。不妥之处还望同行们批评指正。1.4、存在的问题.⑴在统计学这一章，教材选取了大量的应用题，解决问题时鼓励学生采用计算器或计算机，致使学生对计算工具产生了依赖，导致计算能力低下，如，必修3检测题17题，在没有计算器的情况下，6个简单数据的平均数有三分之一的学生出错。18题出现低级的错误1-0.24-0.28-0.19=0.31。⑵习题、练习题设计有待进一步斟酌。在必修3的教学实践中，发现课本有许多习题和练习题与教学内容不配套，特别是算法初步这一章，86页A组3、4、5、6题，112页练习1题，113页A组5、6、7、8、9题，B组1、2、3题。这些题目给人的感觉是在&作秀&，教材中根本没有涉及到，学生根本无从下手，不但对学习数学没有帮助，反而挫伤了学生学习的积极性，失去了兴趣。⑶内容设计缺乏系统性。在概率这一章中，对几何概型的建模过程中，学生没有学习线性规划，对一个二元一次不等式表示的是一个平面区域无法理解，无法找到试验结果对应的区域，为了完成教学任务，教师只能采取&填鸭式&的方式，大量重复同类题目，学生死记硬背模式，稍微进行变式就难以解决，如必修3检测题22题甲乙两人约定6时到7时间在某地会面，先者等候另一人一刻钟，过时就离去，则两人能会面的概率为?，此题是练习过的原题，但全班只有四分之一的做对。1.5、教学过程反思.通过必修3检测的来看，平均分达到了85.3分，效果不错，认真反思整个教学过程，成绩归功于对学生自主学习的培养。⑴给学生自主学习的时间。学生的自主学习活动需要占用课堂的大部分时间，尤其是刚开始尝试自主学习时更需要大量的时间去适应和探索。二节课的时间能学习一节课的内容就算不错。这样的训练必然影响数学教学进度。这就要求教师要更新教育思想，从学生的长远考虑，为孩子的未来着想。为学生提供足够的自学时间，让学生有完整的自学过程，在自学过程中丰富经验、积累方法、获得启发。⑵为学生提供自主学习的机会。教师要为学生的自主学习创设各种机会。对129页问题2的探究，学生自己准备乒乓球，每四人一组进行分工，每组重复试验20次，记录结果，然后将全班的结果汇总分析，学生情绪很高涨，主动参与，积极讨论，大胆发言，使学生真正体验到了学习数学的乐趣，体会到了数学的实用价值，激发了他们学习数学的兴趣。⑶指导学生自主学习的方法。学生的自主学习离不开教师的指导。教师要在教学活动中有意识的训练学生的观察、表达、质疑、迁移、类推、对比、实验、分析、归纳、综合等学习能力，为培养学生的自学能力，提高自学效率奠定基础。自主不是放纵。脱离教师的指导，让学生完全自主学习是不现实的也是无意义的。教师要把握好学生主体性的发挥和自己主导作用的体现。为培养学生的自主学习能力和创新能力创造条件。总之，新课程的实施处在实验阶段，难免出现问题，就好比新生事物在开始会遇到阻力，但最终能战胜旧事物。我们必然经过实践---认识---再实践---再认识的反复过程。我们只有在反思的过程中不断地提高认识、提升自我，才能更好地为新课程的实施服务。二、对高中数学新课程必修3教学的几点看法原作者：曾德福&& 时间：日上学期的教学进度已经过半，完成必修1与必修2的教学之后，下学期要完成哪个模块的教学已经摆上议事日程：必修3、必修4和必修5，三选二！2.1、先上必修3的几点优势.几年的教学下来，发现大部分老师对必修3的看法惊人的相识：把必修3放到最后，先上必修4再上必修5。其理由主要是：必修3的教学比较陌生而必修4三角函数内容在大纲教材体系中比较提前，且内容重要。其实，内容陌生只是老师单方面的原因，对于学生来说，必修3和必修4的内容都是新知识，我们的教学不能因为教师的原因而打乱实验顺序，一切应从学生的实际情况来考虑。因此我认为先上必修3有以下几点优势：⑴遵循了课程标准实验的原则，不以主观意识随意打乱模块实验的顺序。⑵必修3中算法、统计、概率的教学，大约7周的时间就可以完成，本模块的内容在这7周内都可以得到强化训练，而不是放在必修4或者必修5之后，然后走马观花过一遍。认真学好必修3的内容，可以把算法、统计、概率思想融入今后的学习中。⑶高效率地完成必修3的教学之后，有足够的时间进行必修4中重点内容的训练。必修4三角函数的内容是大纲教材体系中的一个重点，突出了三角函数的函数特征，应从实际背景、解析式、性质、图像、应用等方面进行研究，特别在三角函数的应用方面要求学生对三角函数的诱导公式、半角公式、倍角公式等知识点在记忆的基础上要有深刻的理解。这必然要花费比较多的时间，而必修3则可以在相对较短的时间内完成教学，可以与必修4形成互补。而必修5的解三角形、数列、不等式等知识内容充实，在教学时间上不如必修3有优势。⑷学生学习必修3的效果强于必修4。大部分学生感觉必修3的学习较为容易，原因是题型的变化不太多。相反，必修4题型变化较为灵活，学生感觉比较棘手。另一方面必修3中的知识可以与信息技术的知识联系在一起。现在的学生对计算机普遍比较感兴趣，爱屋及乌，自然对与之相关的知识也会比较感情趣。孔子曰：&知之者不如好之者，好之者不如乐之者&。⑸在学期结束前的期末复习中，由于必修4的内容刚刚结束，学生印象深刻，复习重点可以放在必修4的强化训练及必修3的重点题型归类上，从而可以用较短的时间组织好期末复习。2.2、算法教学中的几点建议.新课标中算法内容的引入，是适应信息技术高速发展的需要，算法体现了通用化、机械化、程序化等特点，在算法教学中的几点建议如下：⑴同时走好算法表示的三条路，即自然语言、程序框图、算法语句。在教学中，可以结合具体的算法实例，分析用自然语言表示算法的步骤，绘制相应算法的程序框图，并编写相应框图的算法程序。注意三条途径的目的都是体会其中的算法思想。⑵剖析清楚教材中的几个典型的算法实例。例如解一元二次方程、按大小顺序输出三个数、1～100的累加、二分法求方程近似解、分段函数的求值等。⑶学习程序框图时，可以结合一个流程图的实例，认知基本的程序框及功能，并分析出其中的逻辑结构。各种逻辑结构（顺序结构、条件结构、当型循环结构、直到型循环结构）的学习，都应当配合一个具体的例子来逐步分析，特别是循环结构，应该对每一次的循环都进行分析，让学生彻底理解框图的功能，提高逻辑思维能力。⑷典型算法案例（辗转相除法与更相减损术、秦久韶算法、进位制）的学习，必须奠基在其历史背景之上，讲清楚具体的解题步骤，剖析如此解题的原理，在熟练解题的基础上，再结合框图或语句，从算法思维的角度进行分析。⑸有条件的学校，可以安排适当的上机训练，通过适当的上机训练，让学生对算法有一种真切感，激发学生学习算法的兴趣，巩固算法中所学习的内容，也可以提高学生操作计算机的能力（算法编程训练的平台可以选用Windows下运行DOS程序Qbasic，训练的重点是在Qbasic下输入教材上例题与习题的相关程序，并调试其正确性）。总之，在新课程改革中，虽然教材中新增加了一些比较陌生的知识，需要我们重新认识，这说明有很多新知识都需要我们不断的学习，以适应新课程改革的需要。三、高中新课标数学必修3与必修4的教学体会原作者：广东省中山市东升高中 高建彪& 日期：日从2004年9月开始，广东、海南、宁夏、山东四省区率先进行普通高中课程标准的实验教学，之后又有江苏、天津、辽宁、安徽、福建、浙江六省市陆续进入实验. 本人作为参与普通高中课程标准第一批实验的老师，有责任总结出课标实验教学中的一些体会. 下面结合人教A版《普通高中课程标准实验教科书.数学3（必修）》（以下简称《必修3》）及《必修4》两册教材，与各位同仁探讨高一年级第二学期数学新课标教学中的若干问题.3.1、教材顺序安排的讨论.⑴先上必修3，还是必修4？①从大纲教材过渡到课标教材，参与实验的老师最不满意的是数学新课程中的模块化结构，认为打乱了高中数学知识的体系，所以教学中出现各种打乱模块顺序的情况. ⅰ我们在高一年级第一学期完成必修1与必修2的教学之后，新学期又面临着先上必修3，还是必修4的激烈讨论. 在讨论中，部分老师认为先上必修4，理由主要是两条：一是必修3的教学比较陌生；二是必修4三角函数内容在大纲教材体系中比较提前，且内容重要.ⅱ内容陌生只是老师单方面的原因，对学生来说，两个模块的内容都是新知识，我们的教学不能因为教师的原因而打乱实验顺序，一切应从学生的实际情况来考虑. ②我校在连续几年的实验中，都是严格按照模块顺序组织教学，认为先上必修3有如下优势：ⅰ遵循了课程标准实验的原则，不以主观意识随意打乱模块实验的顺序，也没有给数学教学带来混乱的感觉.ⅱ重视必修3中算法、统计、概率的教学. 我们先用大约7周的时间完成必修3的教学，本模块的内容在这7周内都得到了强化训练，而不是放在必修4之后，然后跑马观花过一遍. 认真学好必修3的内容，可以把算法、统计、概率思想融入今后的学习中.ⅲ高效率地完成必修3的教学之后，有足够的时间进行必修4中重点内容的训练.ⅳ学生学习必修3的效果强于必修4. 大部分学生感觉必修3的学习较为容易，原因是题型的变化不太多. 相反，必修4题型变化较为灵活，学生感觉棘手.ⅴ在学期结束前的期末复习时，由于必修4的内容刚刚结束，复习重点可以放在必修4的强化训练及必修3的重点题型归类上，从而可以用较短的时间组织好期末复习.⑵必修4中三角恒等变换是否提前？①在大纲教材中，是先学完三角函数及三角恒等变换后，再进入平面向量的学习，然后是学习解三角形. 而课标教材中，学习三角函数的知识之后，进入平面向量的学习，然后是学习三角恒等变换及解三角形（必修5中）. 基于以上顺序的对比，部分老师提出是否可以把三角恒等变换安排在平面向量之前学习，更突出三角内容的连续性和整体性. ②个人认为，课标教材中这样安排顺序，其主要意图是突出三个方面，即三角函数的函数特征；向量工具的重要性；三角恒等变换及解三角形是平面向量的应用. ⅰ我们不能因为大纲教材如此安排，就打乱课标教材的实验顺序，而应当认真体会课程标准的精神，强化向量的工具特征，认真贯彻用向量方法解决数学问题的基本思想. ⅱ结合向量的物理背景和几何背景，扎扎实实学好向量的相关知识，并利用向量工具解决若干问题. 例如，向量在物理、几何中的应用，用向量方法推导两角差的余弦公式等.&&&
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