2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·天津卷（理科数学）
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2014·天津卷(理数)
1．[2014·天津卷] i是虚数单位，复数＝(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A．1－iB．－1＋i
C.＋iD．－＋i
1．A　[解析]＝＝＝1－i.
2．[2014·天津卷]
设变量，y满足约束条件则目标函数＝＋2y的最小值为(　　)
A．2B．3C．4D．5
2．B　[解析]画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．
当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即min＝1×1＋2×1＝3.
3．[2014·天津卷]
阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值为(　　)
3．B　[解析]第1次循环，i＝1，＝3，＝1×3；
第2次循环，i＝2，＝5，＝1×3×5；
第3次循环，i＝3，＝7，＝1×3×5×7.
执行完后，这时i变为4，退出循环，故输出＝1×3×5×7＝105.
4．[2014·天津卷] 函数f()＝lo(2－4)的单调递增区间为(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
4．D　[解析]要使f()单调递增，需有解得0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2＋10，双曲线的一个焦点
在直线l上，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1B.－＝1
C.－＝1D.－＝1
5．A　[解析]由题意知，双曲线的渐近线为y＝±，∴＝2.∵双曲线的左焦点(－c，0)
在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为
6．[2014·天津卷]
如图1-2所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点
B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：
①BD平分∠CBF；
②FB2＝FD·FA；
③AE·CE＝BE·DE；
④AF·BD＝AB·BF.
则所有正确结论的序号是(　　)
A．①②B．③④
C．①②③D．①②④
6．D　[解析]如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD平分∠CBF，∴△
ABF∽△BDF.
∵＝，∴AB·BF＝AF·BD.∵＝，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确．
7．[2014·天津卷] 设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
7．C　[解析]当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当abb时a|a|>0>b
|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b.
8．[2014·天津卷]
已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.
若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝(　　)
8．C　[解析]建立如图所示的坐标系，则A(－1，0)，B(0，－)，C(1，0)，D(0，)．
设E(1，y1)，F(2，y2)．由BE＝λBC得(1，y1＋)＝λ(1，)，解得即点E(λ，(λ－1))．
由＝μ得(2，y2－)＝μ(1，－)，解得即点F(μ，(1－μ))．又∵AE·AF＝(λ＋1，(λ－1))·
(μ＋1，(1－μ))＝1，①
·＝(λ－1, (λ－1))·(μ－1, (1－μ))＝－.②
①－②得λ＋μ＝.
9．[2014·天津卷]
某大为了解在校本生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从
该校四个年级的本生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级
、三年级、四年级的本生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本生中抽取________名
9．60　[解析]由分层抽样的方法可得，从一年级本生中抽取生人数为300×＝60
10．[2014·天津卷]
一个儿何体的三视图如图1-3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
10.　[解析]由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋π
×22×2＝.
11．、[2014·天津卷]
设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，n为其前n项和．若1，2，4成等比数列
，则a1的值为________．
11．－　[解析]∵2＝2a1－1，4＝4a1＋×(－1)＝4a1－6，1，2，4成等比数列，
∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，解得a1＝－.
12．[2014·天津卷]
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2inB＝3inC，则coA
的值为________．
12．－　[解析]∵2inB＝3inC，∴2b＝3c.
又∵b－c＝，∴a＝2c，b＝c，
∴coA＝＝＝－.
13．[2014·天津卷]
在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4inθ和直线ρinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边
三角形，则a的值为________．
13．3　[解析]将ρ＝4inθ与ρinθ＝a转化为直角坐标方程分别为2＋(y－2)2＝4与
y＝a.联立得2＝－a2＋4a，且0<a<4.
∵△AOB为等边三角形，∴a2＝3(－a2＋4a)，解得a＝3或a＝0(舍)．
14．[2014·天津卷]
已知函数f()＝|2＋3|，∈R.若方程f()－a|－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数
a的取值范围为________．
14．(0，1)∪(9，＋∞)　[解析]在同一坐标系内分别作出y＝f()与y＝a|－1|的图像
如图所示．当y＝a|－1|与y＝f()的图像相切时，由整理得2＋(3－a)＋a＝0，则Δ＝
(3－a)2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|－1|与y＝f()的图像有四
个交点时，0<a9.
15．、、[2014·天津卷] 已知函数f()＝co·in－co2＋，∈R.
(1)求f()的最小正周期；
(2)求f()在闭区间上的最大值和最小值．
15．解：(1)由已知，有
f()＝co·－co2＋
＝in·co－co2＋
＝in2－(1＋co2)＋
＝in2－co2
所以f()的最小正周期＝＝π.
(2)因为f()在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，
所以函数f()在区间上的最大值为，最小值为－.
16．、、[2014·天津卷]
某大志愿者协会有6名男同，4名女同．在这10名同中，3名同来自数院，
其余7名同来自物理、化等其他互不相同的七个院．现从这10名同中随机选取3
名同，到希望小进行支教活动(每位同被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同是来自互不相同院的概率；
(2)设为选出的3名同中女同的人数，求随机变量的分布列和数期望．
16．解：(1)设“选出的3名同是来自互不相同的院”为事件A，则
P(A)＝·C＋C·C,C)＝，
所以选出的3名同是来自互不相同院的概率为.
(2)随机变量的所有可能值为0，1，2，3.
P(＝)＝·C,C)(＝0，1，2，3)，
所以随机变量的分布列是
随机变量的数期望E()＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
17．、[2014·天津卷]
如图1-4所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,
AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．
(1)证明：BE⊥DC；
(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F-AB-P的余弦值．
17．解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，
0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．
(1)证明：向量BE＝(0，1，1)，DC＝(2，0，0)，
故BE·DC＝0，
所以BE⊥DC.
(2)向量BD＝(－1，2，0)，PB＝(1，0，－2)．
设n＝(，y，)为平面PBD的法向量，
不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有
co〈n，BE〉＝＝＝，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
向量BC＝(1，2，0)，CP＝(－2，－2，2)，AC＝(2，2，0)，AB＝(1，0，0)．由点F在棱
设CF＝λ，0≤λ≤1.
故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2(1－2λ
)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，即BF＝.设n1＝(，y，)为平面FAB的法向量，则即不妨令
＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，
co〈，〉＝＝＝－.
易知二面角F-AB-P是锐角，所以其余弦值为.
方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中
点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，
所以BE∥AM.
因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM?平面PAD，所以CD⊥
AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.
(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为P
D的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE
在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所
依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，an
∠EBM＝＝＝，因此in∠EBM＝，
所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.
(3)如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面
ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，
从而CF＝3FP.在平面PDC内，作F∥DC交PD于点，于是D＝3P.由于DC∥AB，故F∥AB，所
以A，B，F，四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥A，所以∠PA为二面角
F-AB-P的平面角．
在△PA中，PA＝2，P＝PD＝，∠AP＝45°.由余弦定理可得A＝，co∠PA＝，所以二
面角F-AB-P的余弦值为.
18．、[2014·天津卷]
设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|
(1)求椭圆的离心率；
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直
线l与该圆相切，求直线l的斜率．
18．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．
由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.
又b2＝a2－c2，则＝，
所以椭圆的离心率e＝.
(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.
故椭圆方程为＋＝1.
设P(0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，
有＝(0＋c，y0)，＝(c，c)．
由已知，有·＝0，即(0＋c)c＋y0c＝0.
又c≠0，故有0＋y0＋c＝0.①
又因为点P在椭圆上，
所以,2c2)＋,c2)＝1.②
由①和②可得3＋4c0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故0＝－c.代入①得y0＝，即点P的
设圆的圆心为(1，y1)，则1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.
设直线l的斜率为，依题意，直线l的方程为y＝.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，
整理得2－8＋1＝0，解得＝4±，
所以直线l的斜率为4＋或4－.
19．、、[2014·天津卷]
已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，
集合A＝{|＝1＋2q＋…＋nqn－1，i∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设，∈A，＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M
，i＝1，2，…，n.证明：若an<bn，则<.
19．解：(1)当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{|＝1＋2·2＋3·22，i∈M，i＝
1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．
(2)证明：由，∈A，＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi
∈M，i＝1，2，…，n及an<bn，可得
－＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1
≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)qn－2－qn－1
20．、[2014·天津卷]
设f()＝－ae(a∈R)，∈R.已知函数y＝f()有两个零点1，2，且10在R上恒成立，可得f()在R上单调递增，不合题意．
(ii)a>0时，由f′()＝0，得＝－lna.
当变化时，f′()，f()的变化情况如下表：
|(－∞，－lna)
|(－lna，＋∞)
|－lna－1 |?
这时，f()的单调递增区间是(－∞，－lna)；单调递减区间是(－lna，＋∞)．于是，
“函数y＝f()有两个零点”等价于如下条件同时成立：①f(－lna)>0；②存在1∈(－∞，－
lna)，满足f(1)<0；③存在2∈(－lna，＋∞)，满足f(2)0，即－lna－1>0，解得0<a<e－1.而此时，取1＝0，满足1∈(－∞，－
lna)，且f(1)＝－a<0；取2＝＋ln，满足2∈(－lna，＋∞)，且f(2)＝＋0.由已知，1，2满足a＝(1)，a＝(2)．由a∈(0，e－1)及
()的单调性，可得1∈(0，1)，2∈(1，＋∞)．
对于任意的a1，a2∈(0，e－1)，设a1>a2，(ξ1)＝(ξ2)＝a1，其中0<ξ1<1<ξ2；(η
1)＝(η2)＝a2，其中0<η1<1a2，即(ξ1)>(η1)，可得ξ1>η1.类似可得
又由ξ1，η1>0，得<1，且解得1＝，2＝，所以1＋2＝.①
令h()＝，∈(1，＋∞)，
则h′()＝.
令()＝－2ln＋－，得′()＝.
当∈(1，＋∞)时，′()>0.因此，()在(1，＋∞)上单调递增，故对于任意的∈(1，
＋∞)，()>(1)＝0，由此可得h′()>0，故h()在(1，＋∞)上单调递增．
因此，由①可得1＋2随着的增大而增大．
而由(2)，随着a的减小而增大，所以1＋2随着a的减小而增大．
高二月考理数（6月）
（考试时间：120分钟分值：150分）
本题共12小题，每小题5分，共60分，在
年度下期四校联考
高一数（理）
时间：120分钟满分：150分
第Ⅰ卷（选择题，共60分
高二年级四校联考数试卷（理）
时量：120分钟满分：150分
选择题：本大题共12小题，每5
揭阳第一中年度第二期第2次阶段考试
高二级理数试题
参考数据：
1、台体的体积公式
高二月考理数（6月）
（考试时间：120分钟分值：150分）
本题共12小题，每小题5分，共60分，在/23该会员上传的其它文档：0 p.0 p.9 p.9 p.10 p.7 p.21 p.8 p.24 p.10 p.12 p.10 p.9 p.20 p.11 p.9 p.7 p.21 p.18 p.12 p.10 p.15 p.12 p.7 p.绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本..绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位2014年高考真题――理科数学（天津卷）word版含解析相关文档专题pptpptdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdocdoc关于我们常见问题关注我们官方公共微信2012年高考数学试卷讲解（天津理科卷）
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